Matrice à diagonale dominante

En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si $A=((a_{i,j})_{i,j \in [\![1,n]\!] })$ , on a alors

$\forall i \in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|\ge\sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|.$

De la même manière, $A$ est dite à diagonale strictement dominante lorsque

$\forall i \in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|>\sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|.$

Sommaire

1 Exemples
2 Lemme d'Hadamard
- 2.1 Énoncé
- 2.2 Démonstration
3 Voir aussi

Exemples

La matrice

$\mathbf A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & -3 & 2\\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

vérifie

$|a_{11}| \ge |a_{12}| + |a_{13}|$ car $|3| \ge |1| + |1|$

$|a_{22}| \ge |a_{21}| + |a_{23}|$ car $|-3| \ge |1| + |2|$

$|a_{33}| \ge |a_{31}| + |a_{32}|$ car $|4| \ge |-1| + |2|.$

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

$\mathbf B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 1 & -2 & 0\end{pmatrix}$

vérifie

$|b_{22}| \ge |b_{21}| + |b_{23}|\,$ car $|3| \ge |1| + |2|$

mais

$|b_{11}| < |b_{12}| + |b_{13}|\,$ car $|-2| < |2| + |1|\,$

$|b_{33}| < |b_{31}| + |b_{32}|\,$ car $|0| < |1| + |-2|.\,$

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

$\mathbf C = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 1\\ 1 & 6 & 2\\ 1 & -2 & 5\end{pmatrix}$

vérifie

$|c_{11}| > |c_{12}| + |c_{13}|\,$ car $|-4| > |2| + |1|\,$

puis

$|c_{22}| > |c_{21}| + |c_{23}|\,$ car $|6| > |1| + |2|\,$

enfin

$|c_{33}| > |c_{31}| + |c_{32}|\,$ car $|5| > |1| + |-2|.\,$

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Lemme d'Hadamard

Le lemme d'Hadamard est un cas particulier du Théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.

Énoncé

Si $A=((a_{i,j})_{i,j\in [\![1,n]\!] })$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors $A$ est inversible.

Démonstration

Par la contraposée. Supposons A non inversible alors son noyau n'est pas réduit à zéro,
il existe donc : $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \neq 0$ tel que $A X = 0$ .
On a alors : $\forall i \in [\![1,n]\!],\ \sum_{j=1}^n a_{i,j}x_j =0 .$
Comme $X \neq 0$ , il existe $x_{i_0} \neq 0$ tel que $|x_{i_0}|=\max \left\{{|x_i|, i \in [\![1,n]\!]}\right\}$ .
On a : $-a_{i_0,i_0}x_{i_0}=\sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n a_{i_0,j}x_j$ , d'où $|a_{i_0,i_0}x_{i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}x_j|$ ,
et comme : $\forall j \in [\![1,n]\!],\ \frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant 1$ ,
on obtient $|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|\frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|$
Finalement, $|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|$ , ce qui prouve que A n'est pas à diagonale strictement dominante, et termine ainsi la démonstration.

Voir aussi

v · Matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

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