Matrice à diagonale dominante

Matrice à diagonale dominante

En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si A=((a_{i,j})_{i,j \in [\![1,n]\!] }), on a alors

\forall i \in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|\ge\sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|.

De la même manière, A est dite à diagonale strictement dominante lorsque

\forall i \in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|>\sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|.

Sommaire

Exemples

La matrice

\mathbf A = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1\\
1 & -3 & 2\\
-1 & 2 & 4\end{pmatrix}

vérifie

|a_{11}| \ge |a_{12}| + |a_{13}| car |3| \ge |1| + |1|
|a_{22}| \ge |a_{21}| + |a_{23}| car |-3| \ge |1| + |2|
|a_{33}| \ge |a_{31}| + |a_{32}| car |4| \ge |-1| + |2|.

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

\mathbf B = \begin{pmatrix}
-2 & 2 & 1\\
1 & 3 & 2\\
1 & -2 & 0\end{pmatrix}

vérifie

|b_{22}| \ge |b_{21}| + |b_{23}|\, car |3| \ge |1| + |2|

mais

|b_{11}| < |b_{12}| + |b_{13}|\, car |-2| < |2| + |1|\,

et

|b_{33}| < |b_{31}| + |b_{32}|\, car |0| < |1| + |-2|.\,

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

\mathbf C = \begin{pmatrix}
-4 & 2 & 1\\
1 & 6 & 2\\
1 & -2 & 5\end{pmatrix}

vérifie

|c_{11}| > |c_{12}| + |c_{13}|\, car |-4| > |2| + |1|\,

puis

|c_{22}| > |c_{21}| + |c_{23}|\, car |6| > |1| + |2|\,

enfin

|c_{33}| > |c_{31}| + |c_{32}|\, car |5| > |1| + |-2|.\,

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Lemme d'Hadamard

Le lemme d'Hadamard est un cas particulier du Théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.

Énoncé

Si A=((a_{i,j})_{i,j\in [\![1,n]\!] }) est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.

Démonstration

Par la contraposée. Supposons A non inversible alors son noyau n'est pas réduit à zéro,
il existe donc : X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \neq 0 tel que AX = 0 .
On a alors : \forall i \in [\![1,n]\!],\ \sum_{j=1}^n a_{i,j}x_j =0 .
Comme X \neq 0, il existe x_{i_0} \neq 0 tel que |x_{i_0}|=\max \left\{{|x_i|, i \in [\![1,n]\!]}\right\}.
On a : -a_{i_0,i_0}x_{i_0}=\sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n a_{i_0,j}x_j , d'où  |a_{i_0,i_0}x_{i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}x_j| ,
et comme : \forall j \in [\![1,n]\!],\ \frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant 1 ,
on obtient |a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|\frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|
Finalement, |a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}| , ce qui prouve que A n'est pas à diagonale strictement dominante, et termine ainsi la démonstration.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice à diagonale dominante de Wikipédia en français (auteurs)

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