Matrice de hankel

Matrice de Hankel

En algèbre linéaire une matrice de Hankel, du nom du mathématicien Hermann Hankel, est une matrice carrée dont les valeurs sont constantes le long des diagonales ascendantes, c'est-à-dire dont les indices vérifient la relation $a i, j = a i - 1, j + 1$

Par exemple une matrice de Hankel de taille 5 s'écrit sous la forme

$\begin{pmatrix} a & b & c & d & e \\ b & c & d & e & f \\ c & d & e & f & g \\ d & e & f & g & h \\ e & f & g & h & i \end{pmatrix}$

Cette matrice a une certaine parenté avec les matrices de Toeplitz (ces dernières sont des matrices de Hankel renversées).

Sur un espace de Hilbert muni d'une base hilbertienne, on peut définir plus généralement un opérateur de Hankel. Ce dernier admet pour représentation une matrice de Hankel infinie, c'est-à-dire que le coefficient $a i, j = (e i | a (e j))$ , dépend seulement de $i + j$ .

Déterminant et transformation de Hankel

À toute suite $(b n)$ on peut associer la suite des déterminants $h n$ des matrices de Hankel successives^[1]

$h_n = \begin{vmatrix} b_0 &b_1&b_2&\dots&b_{n}\\ b_1 &b_2&b_3&\dots&b_{n+1}\\ b_2 &b_3&b_4&\dots&b_{n+2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{n} &b_{n+1}&b_{n+2}&\dots&b_{2n}\\ \end{vmatrix}$

une suite est nulle si et seulement si sa transformée de Hankel est nulle

une suite vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants si et seulement si la transformée de Hankel est nulle à partir d'un certain rang.

Voir aussi

Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire

Notes et références

↑ (en) John W. Layman, The Hankel Transform and some of its properties, Journal of Integer Sequences, vol 4 (2001)

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Catégories : Matrice remarquable | Déterminant

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