Matrice de hankel

Matrice de hankel

Matrice de Hankel

En algèbre linéaire une matrice de Hankel, du nom du mathématicien Hermann Hankel, est une matrice carrée dont les valeurs sont constantes le long des diagonales ascendantes, c'est-à-dire dont les indices vérifient la relation ai,j = ai − 1,j + 1

Par exemple une matrice de Hankel de taille 5 s'écrit sous la forme

\begin{pmatrix}
a & b & c & d & e \\
b & c & d & e & f \\
c & d & e & f & g \\
d & e & f & g & h \\
e & f & g & h & i 
\end{pmatrix}

Cette matrice a une certaine parenté avec les matrices de Toeplitz (ces dernières sont des matrices de Hankel renversées).

Sur un espace de Hilbert muni d'une base hilbertienne, on peut définir plus généralement un opérateur de Hankel. Ce dernier admet pour représentation une matrice de Hankel infinie, c'est-à-dire que le coefficient ai,j = (ei | a(ej)), dépend seulement de i + j.

Déterminant et transformation de Hankel

À toute suite (bn) on peut associer la suite des déterminants hn des matrices de Hankel successives[1]

h_n = \begin{vmatrix}
b_0 &b_1&b_2&\dots&b_{n}\\
b_1 &b_2&b_3&\dots&b_{n+1}\\
b_2 &b_3&b_4&\dots&b_{n+2}\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
b_{n} &b_{n+1}&b_{n+2}&\dots&b_{2n}\\
\end{vmatrix}
  • une suite est nulle si et seulement si sa transformée de Hankel est nulle
  • une suite vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants si et seulement si la transformée de Hankel est nulle à partir d'un certain rang.

Voir aussi

Notes et références

  1. (en) John W. Layman, The Hankel Transform and some of its properties, Journal of Integer Sequences, vol 4 (2001)
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