Forme linéaire

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En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par exemple dans la théorie des distributions, ou dans l'étude des espaces de Hilbert.

Les formes linéaires sur un espace vectoriel portent parfois également le nom de covecteur. Ce terme qui prend sens dans le cadre général des tenseurs et du calcul tensoriel rappelle que si les formes linéaires peuvent être représentées par un système de coordonnées comparable à celui des vecteurs, elles s'en distinguent pour ce qui est des formules de transformations.

Sommaire

1 Définition
2 Bases duale et antéduale
3 Propriétés algébriques
4 Formes linéaires continues
5 Formes linéaires continues sur un espace de Hilbert
6 Référence
7 Voir aussi

Définition

Une forme linéaire sur un espace vectoriel $E$ sur un corps commutatif $K$ (ou covecteur de $E$ ) est une application linéaire définie sur $E$ et à valeurs dans $K$ .

En d'autres termes, on dit que l'application $φ$ de $E$ dans $K$ est une forme linéaire si :

$\forall (x,y) \in E^2,\ \forall \lambda \in K,\ \varphi(\lambda x + y)=\lambda \varphi(x)+\varphi(y).$

Espace dual

L'ensemble des formes linéaires sur $E$ est lui-même un $K$ -espace vectoriel. On l'appelle le dual de $E$ et il est noté $E *$ ou $hom(E, K)$ . Ainsi, si $ϕ$ et $ψ$ sont des formes linéaires et $a$ et $b$ des éléments de $K$ :

$\forall x \in E,\ (a\phi + b\psi)(x) = a\cdot \phi(x) + b\cdot \psi(x).$

L'application constante de valeur $0 K$ s'appelle la « forme linéaire nulle ».

On note parfois $\langle\phi,x\rangle$ (où $x \in E$ ) pour $ϕ(x)$ . Cette notation est appelée crochet de dualité.

Représentations matricielles

Une base de $E$ étant donnée, les composantes d'un vecteur $x\in E$ sont ordonnées sous forme de vecteur colonne :

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}.$

Au contraire, une forme linéaire ou covecteur est représentée par un vecteur ligne à n composantes :

$\phi = \begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n\end{pmatrix}.$

Le crochet de dualité est le produit matriciel

$\phi(x) = \begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n \phi_i x_i.$

Selon la convention d'Einstein, ce résultat peut se noter $\phi^i x_i\,$ et est un scalaire (en réalité une matrice $(1,1)$ ).

Exemples

L'application

$\begin{array}{rccc}\varphi : & \R^2 &\longrightarrow &\R \\ & (x,y)& \longmapsto & x+y;\end{array}$

est une forme linéaire sur $\R^2$ .

Si $L 1 (Ω)$ est le $\mathbb{C}$ -espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes qui sont intégrables sur l'espace mesuré $Ω$ , alors l'intégrale est une forme linéaire sur $L 1 (Ω)$ . Cela signifie que

$\forall (f,g) \in (L^1(\Omega))^2,\ \forall \lambda \in \mathbb{C},\ \int(\lambda f + g)=\lambda \int f+\int g.$

Bases duale et antéduale

L'ensemble des formes linéaires sur un espace vectoriel $E$ est lui même un espace vectoriel et se note en général $E *$ . Il est appelé espace vectoriel dual de $E$ , ou plus simplement espace dual de $E$ . Si $E$ est de dimension finie $n$ , il est remarquable que $E *$ soit aussi de dimension finie $n$ . En d'autres termes, on peut aussi dire qu'un espace de dimension finie est isomorphe à son dual. Cependant, il n'y a pas d'isomorphisme canonique dans le sens où si $E$ est quelconque, il est nécessaire de se donner une base arbitraire afin de pouvoir définir un isomorphisme le reliant à $E *$ . Si $(e_1, \ldots, e_n)$ une base de $E$ , on définit sur celle-ci les formes linéaires notées $(e_1^*,\ldots,e_n^*)$ par :

$\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ e_i^*(e_j)=\delta_{ij};$

(où $δ i j$ est le symbole de Kronecker, c'est-à-dire valant 1 si $i = j$ et 0 sinon).

Ces formes linéaires sont aussi appelées les projections des coordonnées, l'image d'un vecteur $x$ par $e_i^*$ n'est autre que la i-ème coordonnée du vecteur $x$ dans la base $(e_1, \ldots, e_n)$ . Le résultat important est que la famille de formes linéaires $(e_1^*,\ldots,e_n^*)$ forme une base de $E *$ ; on appelle aussi cette base la base duale de la base $(e_1, \ldots, e_n)$ .

Inversement, si on se donne une base $(f_1^*,\ldots, f_n^*)$ de $E *$ , il existe une unique base $(f_1,\ldots, f_n)$ de $E$ telle que :

$\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ f_i^*(f_j)=\delta_{ij}.$

La base $(f_1, \ldots, f_n)$ s'appelle la base antéduale de la base $(f_1^*, \ldots, f_n^*)$ .

Propriétés algébriques

Si $φ$ est une forme linéaire non nulle, alors elle est surjective. On a donc $Im(φ) = K$ .
Si $φ$ est une forme linéaire non nulle, alors son noyau $ker(φ)$ est un hyperplan de $E$ .En effet si $H = ker φ$ et si $H 1$ est un supplémentaire de $H$ alors $\varphi$ induit une injection de $H 1$ vers $\mathbb K$ et comme $\varphi(H_1)={\mathbb K}$ on a $\dim (H_1)= \dim ({\mathbb K})=1$ , donc $H 1$ est une droite vectorielle de $E$ .

Réciproquement, si

H

est un hyperplan de

E

, il existe une forme linéaire

φ

telle que

ker(φ) = H

; cette forme linéaire (nécessairement non nulle) est unique, à un coefficient multiplicatif non nul près.

Preuve : Soit $u$ un vecteur de $E$ tel que $u \not \in H$ alors $H \oplus {\mathbb K}u = E$ , alors, pour tout $x \in E$ , il existe un unique scalaire $λ x$ et un unique vecteur $x'$ de $H'$ tel que $x = x' + λ x u$ . L'application $\begin{array}{ccccc}\varphi&:&E&\to&{\mathbb K} \\&&x&\mapsto& \lambda_x \end{array}$ est une forme linéaire sur $E$ de noyau $H$ . Si $φ$ et $\varphi'$ sont deux formes linéaires de $E$ de noyau $H$ , soit $a \in E$ tel que $a \not \in H$ . Pour tout $x \in E$ tel que $x = x' + λ u$ avec $\lambda \in {\mathbb K}$ et $x' \in H$ , on a $φ(x) = λφ(u)$ et $\varphi'(x)=\lambda \varphi'(a) = \lambda \frac{\varphi'(a)}{\varphi(a)} \varphi(a)= k \varphi(x)$ où $k =\frac{\varphi'(a)}{\varphi(a)}$ , par conséquent : $φ' = k φ$ .

Enfin, une propriété importante est que deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.

Preuve : si deux formes linéaires $f$ et $g$ sont proportionnelles alors $g = k f$ avec $k \in{\mathbb K}^*$ (car non nulles). Par suite : $\forall x \in E \quad g(x)=0 \iff f(x)=0$ .
Réciproquement, si $f$ et $g$ sont deux formes linéaires non nulles de même noyau $H$ qui est alors un hyperplan, on procède comme ci-dessus pour prouver que $f$ et $g$ sont proportionnelles.

Formes linéaires continues

Si on considère un espace vectoriel normé $E$ sur le corps $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{C}$ , alors on sait définir la notion de continuité de n'importe quelle application linéaire et en particulier, on dispose d'une notion de continuité pour les formes linéaires.

Si $E$ est un espace vectoriel normé et $φ$ est une forme linéaire continue alors elle est uniformément continue.

Formes linéaires continues sur un espace de Hilbert

On suppose désormais que $E$ est un espace de Hilbert sur le corps $\mathbb{K}$ et on note $\langle, \rangle$ le produit scalaire sur cet espace vectoriel.

On démontre grâce au théorème de représentation de Riesz que les formes linéaires continues sur $E$ s'expriment alors toutes d'une manière simple en fonction du produit scalaire et plus précisément :

$\forall \varphi \in E^{*},\ \exists! a_{\varphi} \in E,\ \forall x \in E,\ \varphi(x)= \langle x,a_{\varphi}\rangle.$

Référence

Lecture Notes on General Relativity, S. Carroll

Voir aussi

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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