Fonction holomorphe

Une grille et son image par

f

une fonction holomorphe. Une fonction holomorphe est une transformation conforme.

En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs dans $\C$ , définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe $\C$ .

Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est indéfiniment dérivable et est égale au voisinage de tout point de l'ouvert à la somme de sa série de Taylor. Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe.

Définition

Définition — Soient U un sous-ensemble ouvert (non vide) de l'ensemble $\C$ des nombres complexes et une fonction $f:U\to\C$ .

On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z₀ de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z₀ existe :

$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }$

On dit que f est holomorphe sur l'ouvert U si elle est holomorphe en tout point z₀ de U. En particulier, on appelle fonction entière une fonction holomorphe dans tout le plan complexe.

La limite est prise ici sur toutes les suites de nombres complexes tendant vers z₀, et pour toutes ces suites le quotient doit tendre vers un même nombre f '(z₀). Intuitivement, si f est dérivable au sens complexe en z₀, et si l'on approche le point z₀ dans la direction d'un vecteur u, alors (pourvu que f '(z₀) ≠ 0) les images approchent le point f(z₀) dans la direction du vecteur f '(z₀) u (produit des nombres complexes f '(z₀) et u).

Exemples

Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est holomorphe sur $\C$ .
Toute fonction rationnelle à coefficients complexes est holomorphe sur le complémentaire de l'ensemble de ses pôles. Par exemple, la fonction inverse $z\mapsto 1/z$ est holomorphe sur $\C^*$ .
Soit $\sum_{n\geq0} a_n z^n$ une série entière à coefficients complexes de rayon de convergence non nul (fini ou non) ; on note $D$ son disque de convergence.

La fonction $f : D \to \C$ définie par $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ est holomorphe, et pour tout $z \in D$ , $f'(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n z^{n-1}$ .

En fait, cette fonction est indéfiniment dérivable sur

D

La fonction exponentielle est holomorphe sur $\C$ . Il en est de même des fonctions trigonométriques (qui peuvent être définies à partir de la fonction exponentielle au moyen des formules d'Euler) et des fonctions hyperboliques.
On appelle détermination du logarithme sur un ouvert de toute fonction holomorphe telle que . On a alors : .
- Sur tout ouvert $U$ de $\C^*$ où existe une détermination $L$ du logarithme, on peut définir, quel que soit $k \in\Z$ , la fonction $L_k : U \to\C,\, z \mapsto L(z) + 2\, k\, \pi\, i$ . Chacune de ces fonctions est une détermination du logarithme sur $U$ , et réciproquement, si $U$ est connexe, toute détermination du logarithme sur $U$ est l'une de ces fonctions.
- L'existence sur un ouvert connexe U de d'une détermination du logarithme équivaut à l'existence d'une fonction holomorphe sur cet ouvert, telle que pour tout ; dans ce cas, il existe (au moins) une constante complexe C telle que la fonction soit une détermination du logarithme sur U.
  - Il n'existe pas de détermination du logarithme sur l'ouvert $\C^*$ .
  - Il existe une détermination du logarithme sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs ou nuls (on parle de "coupure"). Parmi toutes les déterminations du logarithme sur cet ouvert, il en existe une et une seule qui prolonge le logarithme népérien réel.
  - Plus généralement, il existe une détermination du logarithme sur tout ouvert simplement connexe ne contenant pas 0.
Sur tout ouvert $U$ de $\C^*$ où existe une détermination $L$ du logarithme, on peut définir une détermination de la puissance d'exposant $\ a$ (où $a \in\C$ ), en posant

$\forall\, z \in U,\, z^a = \exp(a\, L(z))$ .

En particulier, si

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 2, la fonction

$U \to\C,\, z \mapsto z^{\frac1n} = \exp\left(\frac1n\, L(z)\right)$

est holomorphe sur

U

et vérifie l'identité $\forall\, z \in U,\, \left(z^{\frac{1}{n}}\right)^n = z$ .

On dit que cette fonction est une détermination sur

U

de la racine n-ième.

On peut noter $\ \sqrt[n]{z}$ au lieu de $\ z^{\frac{1}{n}}$ (si des réels strictement positifs appartiennent à

U

, il se peut qu'il y ait alors conflit entre cette notation, et sa signification habituelle, servant à désigner la racine n-ième positive).

Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manière des coupures et sont holomorphes partout sauf aux coupures.

Propriétés

Généralités

Parce que la dérivation complexe est linéaire et qu'elle obéit aux règles classiques de dérivation, les sommes, produits ou composées de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe sur tout ouvert où le dénominateur ne s'annule pas.

Les règles de calcul des dérivées au sens complexe sont identiques à celles des dérivées des fonctions d'une variable réelle : linéarité, dérivée d'un produit, d'un quotient, d'une fonction composée.

Une fonction holomorphe en un point est bien évidemment continue en ce point.

Près d'un point $z 0$ où la dérivée d'une fonction holomorphe $f$ est non nulle, $f$ est une transformation conforme, c'est-à-dire qu'elle préserve les angles (orientés) et les formes de petites figures (mais pas les longueurs, en général).

En effet, sa différentielle au point $z 0$ est l'application $\C$ -linéaire $df_{z_0}:\C\to\C,\,u \mapsto A\, u$ , où $A = f'(z 0)$ : la différentielle s'identifie donc à une similitude directe du plan, sous réserve que A soit non nul.

Équations de Cauchy-Riemann

Article détaillé : équations de Cauchy-Riemann.

Si l'on identifie $\C$ à $\R^2$ , alors les fonctions holomorphes sur un ouvert de $\C$ coïncident avec les fonctions de deux variables réelles qui sont $\R$ -différentiables sur cet ouvert et y vérifient les équations de Cauchy-Riemann, un système de deux équations aux dérivées partielles :

On considère une fonction $\ f : U \to\C$ d'une variable complexe, où $U$ est un ouvert du plan complexe $\C$ . On utilise ici les notations suivantes :

la variable complexe $\ z$ est notée $\ x + i\, y$ , où x, y sont réels
les parties réelle et imaginaire de $\ f(z) = f(x + i\, y)$ sont notées respectivement $\ P(x, y)$ et $\ Q(x, y)$ , c'est-à-dire : $\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)$ , où $\ P,\, Q$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Équations de Cauchy-Riemann — Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est holomorphe en un point $z o$ de $U$
$\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$
$\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ et $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
$\overline\partial f(z_0) = 0$ , où l'opérateur différentiel $\overline\partial$ est, par définition, égal à $\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\right)$ .

Remarque, toujours avec $f$ holomorphe en $z o$ : $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \partial f(z_0)$ où l'opérateur différentiel $\partial$ est, par définition, égal à $\frac12\left(\frac\partial{\partial x}-i\frac\partial{\partial y}\right)$ .

Conséquences des équations de Cauchy Riemann : avec les notations ci dessus, les laplaciens de la partie réelle et de la partie imaginaire de $f$ sont nuls :

$\ \Delta P = \Delta Q = 0$

$P$ et $Q$ sont dits harmoniques conjuguées, ce sont des fonctions harmoniques.

(plus loin le caractère $C^\infty$ des fonctions holomorphes est montré (voir formule intégrale de Cauchy), d'où l'existence des laplaciens.)

On a également : $\frac {\partial P} {\partial x} \frac {\partial Q} {\partial x} + \frac {\partial P} {\partial y} \frac {\partial Q} {\partial y}=0$

Inversement, soit $P$ une fonction harmonique. Alors on peut construire une fonction holomorphe $f$ telle que $P$ soit la partie réelle de $f$ (ou indifféremment sa partie imaginaire), il suffit pour cela de construire la partie imaginaire $Q$ (ou réelle si on veut $P$ comme partie imaginaire) grâce aux équations de Cauchy-Riemann, par équivalence avec l'holomorphie.

Intégrale curviligne le long de différents chemins strictement homotopes

Quel que soit un chemin homotope continu et continument dérivable par morceaux dans un ouvert reliant deux points de cet ouvert, la valeur de l'intégrale curviligne sur ce chemin d'une fonction qui est holomorphe sur ce même ouvert, est toujours la même, elle ne dépend pas du chemin entre ces deux points. Autrement dit :

Propriété — Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $U$ du plan complexe $\C$ .

Quels que soient γ et Γ deux chemins de $U$ strictement homotopes dans $U$ , et qui sont de plus continument dérivable par morceaux, on a :

$\int_ \gamma f(z)\,dz = \int_ \Gamma f(z)\,dz$

Rappel : deux chemins sont dits strictement homotopes dans $U$ s'ils sont homotopes dans $U$ et de mêmes extrémités.

Cette propriété peut se démontrer de deux manières :

soit grâce à une conséquence de l'holomorphie de $\ f$ : le théorème intégral de Cauchy (voir plus loin) dont il est une énonciation un peu différente, en prenant deux chemins strictement homotopes. En effet leur réunion est un chemin fermé, contenu dans un ouvert connexe simple sur lequel $\ f$ est holomorphe et le résultat est alors évident par application. Toutefois il faut préalablement démontrer le théorème de Cauchy, ce qui peut se faire grâce à la formule de Green Riemann.
soit directement à partir du caractère holomorphe de $\ f$ (c'est la démonstration qui suit), et alors on peut parvenir à démontrer le théorème de Cauchy d'une autre manière.

Démonstration

Soit $\Gamma : \mathbb[a;b] \to U$ , continu et continument dérivable. C'est donc un chemin de $U$ . Soit $\gamma : \mathbb[c;d] \to U$ , un chemin strictement homotope à Γ dans $U$ . Grâce à un changement de variable $C 1$ difféomorphisme adapté à chaque intervalle de départ, on peut ramener ces deux intervalles à [0;1] (un changement de variable affine convient). Par exemple, pour Γ, soit le changement de variable adapté $Φ$ :

$\int_\Gamma f(z) \,dz = \int_{[a;b]} f(\Gamma(t)) \Gamma'(t) \,dt = \int_{[0;1]} f(\Gamma(\Phi^{-1}(u))) \Gamma'(\Phi(u)) \Phi'(u) \,du$

Le paramétrage du chemin change (de $\ \Gamma$ à $\Gamma \circ \Phi$ ) mais pas la valeur de l'intégrale. Donc pour simplifier, dans la suite a et c vaudront zéro et b et d vaudront 1.

Par définition de l'homotopie stricte, il existe une application $H: \mathbb[0,1]*[0,1] \to U$ continue. Avec, pour tout $t$ dans $[0,1]$ , $H (0, t) = Γ(t)$ et $H (1, t) = γ(t)$ , et pour tout s dans $[0;1]: H (s,0) = H (0,0)$ et $H (s,1) = H (0,1)$ (extrémités fixes).

Le but de la démonstration est donc de montrer que l'intégrale $g(s)=\int_{H(s,.)} f(z)\, dz$ , fonction de $s$ est constante, ce qui implique en particulier l'égalité entre l'intégrale le long de γ (en s=1) et celle le long de Γ (en s=0), prouvant ainsi le résultat.

A priori $H$ n'est pas $C 2$ mais ceci sera supposé dans un premier temps. Puis le cas général $H$ continue sera ramené grâce à la densité de l'espace des fonctions continues sur [0;1]x[0;1] dans l'espace des fonctions $C 2$ .

$g'(s)=\frac{\partial}{\partial s}\int_0^1 f(H(s,t))\frac{\partial H(s,t)}{\partial t}dt$

L'égalité qui suit fait appel au théorème de Leibniz, en effet les conditions sont vérifiées :

$f(H(s,.))\frac{\partial H(s,.)}{\partial t}$ est intégrable sur [0;1]
$f(H(.,t))\frac{\partial H(.,t)}{\partial t}$ est $C 1$ sur [0;1]
La dérivée partielle par rapport à s de l'intégrande est borné car les fonctions constituant l'intégrande sont continues et continument dérivables, donc quel que soit s dans [0;1] une fonction constante convenable domine la dérivée partielle par rapport à s intégrande, et l'intervalle d'intégration étant borné cette constante est elle-même intégrable.

D'où : $g'(s)=\int_0^1 \frac{\partial [f(H(s,t))\frac{\partial H(s,t)}{\partial t}]}{\partial s}\, dt$

L'égalité qui suit fait, quant à elle, appel au caractère holomorphe de $f$ :

$g'(s)=\int_0^1 [\frac{\partial H(s,t)}{\partial t} \frac{\partial H(s,t)}{\partial s}f'(H(s,t))+f(H(s,t))\frac{\partial^2 H(s,t)}{\partial s \partial t}]dt$

Le premier terme de l'intégrande est la dérivée par rapport à t de $f (H (s,.))$ , multiplié par la dérivée partielle par rapport à s de $H$ . Donc en l'intégrant par parties, puis en simplifiant (grâce au théorème de Schwarz, qui s'applique car $H$ est $C 2$ ) avec le second terme de l'intégrande ci-dessus :

$g'(s)=f(H(s,1))\frac{\partial H(s,1)}{\partial s}-f(H(s,0))\frac{\partial H(s,0)}{\partial s}$

Comme les extrémités sont fixes : $\frac{\partial H(s,o)}{\partial s}=0=\frac{\partial H(s,1)}{\partial s}$ , donc on a $g'(s) = 0$ .

Retour au cas $H$ continue : la densité de l'ensemble des fonctions continues dans l'ensemble des fonctions $C 2$ permet d'affirmer qu'il existe une suite $(H n)$ de fonctions de $C 2$ , convergeant uniformément vers $H$ . À chaque fonction $H n$ on associe la fonction $g_n(s) = \int_{H_n(s,.)} f(z) \,dz$ . Pour ces fonctions, le résultat ci dessus s'applique, et donc pour tout n, $g n (0) = g n (1)$ .

Pour pouvoir passer à la limite et ainsi conclure, il faut maintenant prouver que $g n$ converge uniformément vers $g$ .

$\| \int_0^1 f(H_n(s,t)) \frac {\partial H_n(s,t)}{\partial t} \,dt - \int_0^1 f(H(s,t)) \frac {\partial H(s,t)}{\partial t} \,dt \|_\infty \leq \int_0^1 \| f(H_n(s,t)) \frac {\partial H_n(s,t)}{\partial t} - f(H(s,t)) \frac {\partial H(s,t)}{\partial t} \|_\infty \,dt$

Où $\|_\infty$ est la norme infinie définie dans l'espace des fonctions continues sur [0;1], auxquelles appartiennent les $g n$ ainsi que $g$ .

Comme $\ f(H_n)$ converge uniformément vers $\ f(H)$ et $\frac {\partial H_n} {\partial t}$ converge uniformément vers $\frac {\partial H} {\partial t}$ , l'intégrande à droite tend vers zéro, donc $g n$ converge uniformément sur [0;1] vers $g$ , en particulier comme $g n (0) = g n (1)$ alors par passage à la limite $g (0) = g (1)$ , ce qui prouve le résultat.

Lemme de Goursat

Article détaillé : Lemme de Goursat (analyse complexe).

Énoncé du lemme de Goursat pour les rectangles — Si $f$ est une fonction d'une variable complexe définie et dérivable (holomorphe) sur un voisinage ouvert d'un rectangle R, alors l'intégrale curviligne de $f$ sur le contour $\partial R$ de R est nulle :

$\oint_{\partial R} f(z)\, dz=0$ .

Ce résultat reste vrai si $\ f$ n'est pas holomorphe sur un nombre fini de points de l'ouvert considéré, tout en y restant continue.

Énoncé du lemme de Goursat pour les triangles — Si $\ f$ est une fonction d'une variable complexe définie et dérivable (holomorphe) sur un voisinage ouvert d'un triangle $\ T$ , alors l'intégrale curviligne de $\ f$ sur le contour $\partial T$ de $\ T$ est nulle :

$\oint_{\partial \mathbf{T}}f(z)\, dz=0$ .

Ce résultat reste vrai si $\ f$ n'est pas holomorphe sur un nombre fini de points de l'ouvert considéré, tout en y restant continue.

Ces lemmes peuvent se démontrer de deux manières :

soit comme une application du théorème intégral de Cauchy (voir plus loin), qu'il faut préalablement démontrer grâce par exemple à la formule de Green Riemann. Attention, comme application du théorème de Cauchy on ne montre pas le résultat dans le cas où $\ f$ n'est pas holomorphe sur un nombre fini de points où elle est néanmoins continue.
soit (c'est la démonstration proposée dans l'article détaillé) directement à partir du caractère holomorphe de $f$ et on peut alors montrer le théorème de Cauchy d'une autre manière.

Primitive d'une fonction holomorphe

propriété — Soit $\ f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $\ U$ connexe simple. Soit la fonction $F_{z_0}: U \to \C,\,z \mapsto \int_{\Gamma(z)} f(w) \,dw$ , où $\ z_0$ est un point de $\ U$ et $\forall z \in U, \Gamma(z)$ est un chemin de $\ U$ entre $\ z$ et $\ z_0$ .

Alors $F_{z_0}$ est une primitive de $\ f$ sur $\ U$ .

Il est important que le connexe soit simple, ainsi l'intégrale entre deux points de $\ f$ ne dépend pas du chemin entre ces deux points.

Par exemple, la fonction $h: \C^* \to \C,\,z \mapsto 1/z$ est holomorphe sur $\C^*$ qui est connexe mais pas simple. L'intégrale de $\ h$ sur le cercle de centre 0 de rayon 1 (parcouru dans le sens trigonométrique), vaut $2π i$ , mais vaut 0 sur un chemin fermé joignant 1 à lui même en n'entourant pas 0. On peut en revanche définir une primitive de $\ h$ sur n'importe quelle ensemble du type $\C^*-D$ où $\ D$ est une demi droite de $\C$ d'extrémité 0, un tel ensemble est en effet connexe, et une primitive est une détermination du logarithme sur cet ensemble, à une constante près.

Démonstration

La démonstration proposée ici se déroule en deux temps : tout d'abord l'existence de primitives dans le cas d'une fonction holomorphe sur un ouvert convexe est prouvée, puis ce résultat est utilisé pour généraliser au cas d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe simple.

Soit $\ f$ une fonction holomorphe sur $\ V$ un ouvert convexe et $\ z_0$ un point de $\ V$ . La convexité permet d'affirmer que quels que soit $\ z,h$ de $\ V$ , les segments $\ [z_0;z], [z;z+h]$ sont inclus dans $\ V$ , ainsi que le triangle de sommets $\ z_0, z, z+h$ .

Soit la fonction sur $\ V : F(z)= \int_{[z_0;z]} f(w) \,dw$

$\forall z \in V : \forall h \in \C / z+h \in V$ , l'intégrale curviligne de $\ f$ sur le triangle de sommets $\ z_0, z, z+h$ est nulle (lemme de Goursat énoncé pour les triangles), et donc $\ F(z+h) - F(z) = \int_{[z;z+h]} f(w) \,dw = \int_{[0;h]} f(z+v) \,dv$

Soit $\ g_h : [0;h] \to \C, v \mapsto g_h(v)=f(z+v)-f(z), g_h$ est continue et tend vers 0 lorsque $| h |$ tend vers 0 :

$F(z+h) - F(z) = h.f(z) + \int_{[0;h]} g_h(v) \,dv = h.f(z) + h.sup\{g_h(v), v \in [0;h]\} = h.f(z) + o(h)$

Donc $\forall z \in V, F$ est holomorphe en $\ z$ avec $\ F'(z)=f(z)$

Deuxième partie

Sur un ouvert connexe simple, localement le problème se ramène à un convexe, la fonction admettant des primitives sur ce convexe, elle en admet sur tout le connexe simple.

Soit $\ f$ une fonction holomorphe sur $\ U$ un ouvert connexe simple et $\ z_0$ un point de $\ U$ .

Pour tout $\ z$ dans $\ U$ , par définition de la connexité simple, tous les chemins de $\ U$ entre $\ z$ et $\ z_0$ sont homotopes, ce qui permet (car la valeur de l'intégrale d'une fonction holomorphe entre deux points ne dépend pas du chemin) de définir $\ F$ , la fonction qui à un point de $\ U$ associe la valeur de l'intégrale entre ce point et $\ z_0$ :

$F(z) = \int_{z_0,z} f(w) \,dw$

Pour tout $\ z$ de $\ U$ , comme $\ U$ est ouvert, par définition il existe un réel $\ r>0$ tel que le disque $\ V=D(z,r)$ soit dans $\ U$ (sur l'illustration à droite, z n'est pas le centre du disque mais cela n'a pas d'importance). Un disque étant convexe, le problème va se ramener au cas précédent : la fonction $\ f$ admet une primitive $\ G$ sur le disque $\ V$ .

$\forall h \in \C$ tel que $\ z+h \in V$ , comme l'intégrale entre $z 0$ et $z + h$ ne dépend pas du chemin, on choisit la réunion d'un chemin (quelconque) entre $z 0$ et $z$ (à droite, en jaune) et du segment $[z; z + h]$ (à droite en blanc), ce qui permet d'écrire :

$F(z+h) = F(z) + \int_{[z;z+h]} f(w) \,dw = F(z) + G(z+h) - G(z)$

Donc $\frac {F(z+h)-F(z)} {h}$ admet une limite lorsque $| h |$ tend vers 0.

Conclusion : $\ F$ est holomorphe sur $\ U$ et $\ F '=f$ .

Théorème intégral de Cauchy

Article détaillé : Théorème intégral de Cauchy.

Théorème intégral de Cauchy — Soit $Γ$ un lacet de $\C$ , ce lacet est le bord d'une partie compacte connexe $\ A$ de $\C$ . Soit $\ f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $\ U$ contenant $\ A$ , alors :

$\oint_\Gamma f(z) \mathrm{d}z = 0 \,$

Ce résultat reste valable si la fonction n'est pas holomorphe mais continue sur un nombre fini de points de l'ouvert $\ U$

Ce théorème peut se démontrer de plusieurs manières :

À partir de l'invariance de l'intégrale d'une fonction holomorphe le longs de chemins strictement homotopes.
À partir de l'existence de primitives de fonction holomorphe sur un ouvert connexe, qu'on peut trouver à partir de l'ouvert $\ U$ .
À partir de la formule de Green Riemann.

Ce théorème est généralisé aux fonctions holomorphes sur un ouvert possédant des singularités par le théorème des résidus.

Formule intégrale de Cauchy

Article détaillé : Formule intégrale de Cauchy.

Théorème — Soit $\ f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $\ U$ de $\C$ , et $\ d$ une distance de $\C$ .

Alors $\ f$ est analytique sur $\ U$ , et $\forall z_0 \in U$ , en notant $R=d(z_0,\C-U):$

$\forall z \in D(z_0,R),~~f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ Avec $c_n=\frac {1}{2\pi i} \oint_{C(z_0,r)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} \,dw$ où $\ 0<r<R$

Par conséquent, $\ f$ est indéfiniment dérivable sur $\ U$ , avec $\forall z_0 \in U, f^{(n)}(z_0)=c_n.n!$

Remarques :

Cette série, de Taylor en $z 0$ , converge sur tout disque ouvert de centre $z 0$ et inclus dans $U$ et peut converger sur un disque plus grand ; par exemple, la série de Taylor du logarithme converge sur tout disque ne contenant pas 0, même dans un voisinage des nombres réels strictement négatifs.

De la formule intégrale de Cauchy, on déduit notamment que toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé est complètement déterminée à l'intérieur de ce disque par ses valeurs sur la frontière de celui-ci (voir notamment ci dessous la propriété de la moyenne).

Il y a équivalence entre holomorphie sur un ouvert et analyticité, l'analyticité impliquant clairement l'holomorphie.

Le principe du prolongement analytique, le principe du maximum, le principe des zéros isolés, l'inégalité de Cauchy, le théorème de Liouville sont donc vérifiés par une fonction holomorphe.

Propriété de la moyenne

L'usage particulier de la formule ci dessus en $z 0$ donne, suite à un changement de paramètre $w = z 0 + r e i θ$ :

$f(z_0) = \frac {1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0+re^{i\theta}) \,d\theta$

L'intérêt de cette formule est dans le calcul numérique. Le calcul d'une intégrale est en effet plus stable que celui de dérivés.
Ce résultat reste clairement valable pour la partie réelle et pour la partie imaginaire de $f$ , qui sont des fonctions harmoniques. Comme une fonction harmonique est localement la partie réelle (ou imaginaire) d'une fonction holomorphe, les fonctions harmoniques vérifient le principe du maximum qui suit :

Principe du maximum

Soit $\ f$ une fonction holomorphe sur un ouvert connexe $\ U$ .

Si $\ |f|$ admet un maximum local en un point de $\ U$ , alors $\ f$ est constante.

Démonstration

Si $\ |f|$ admet un maximum local en un point $z 0$ de $\ U$ , et $\ f$ supposée non constante, alors, avec les notations précédentes :

$\exists \epsilon >0$ , tel que $\forall z \in U$ tel que $\ |z-z_0|=r~~:~~|f(z)|<|f(z_0)|-\epsilon$

Avec la propriété de la moyenne : $\ |f(z_0)| \leq |\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z) \,dz | \leq \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (|f(z_0)|-\epsilon) \,dz =|f(z_0)|-\epsilon$

Ce qui est absurde, donc $\ f$ est constante.

Développement de Laurent autour d'un point singulier

En vert, la couronne C(Z0,R1,R2). La fonction est également développable en série de Laurent en Z0 sur une couronne comprise entre Z1 et Z0 (non représentée), ou une extérieure à Z3 (en bleu).

Article détaillé : Série de Laurent.

Théorème — Soit $\ f$ une fonction holomorphe sur $U - A$ avec $U$ un ouvert connexe de $\C$ et $A$ l'ensemble des singularités isolées de $\ f$ dans $U$

Alors, en chaque point $\ z_0$ de $A$ , $\ f$ admet, $\forall z_1 \in A$ , un développement de Laurent sur une couronne $C (z 0, R 1, R 2)$ , où $R 2 > R 1 > | z 1 - z 0 |$ et $R_2 = d(z_0, (A-z_0) \cup (\C - U))$ ( $d$ désignant une distance de $\C$ ) :

$\forall z \in C(z_0,R_1,R_2),~~f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-z_0)^n$ Avec $c_n = \frac {1} {2 \pi i} \oint_{C(z_0,r)} \frac {f(w)} {(w-z_0)^{n+1}} \,dw$ où

R 1 < r < R 2

Remarques :

En particulier on peut prendre $z 1 = z 0$ .
le calcul des $c n$ peut donner lieu à trois possibilités :

- $\forall n<0,~~c_n=0$ : alors $\ f$ peut se prolonger en une fonction analytique sur tous les points de $A$ contenus dans le disque $D (z 0, R 1)$ , et ces points sont dits réguliers. Exemple d'une fonction présentant de tels coefficients : $f(z)=\frac{e^z-1}{z}$ en 0, 0 est un point régulier de $\ f$ .

- $\exists p \in \N$ tel que $\forall n<-p$ on ait $\ c_n=0$ : alors la fonction $\ (z-z_0)^pf(z)$ peut se prolonger en une fonction analytique sur tous les points de $A$ contenus dans le disque $D (z 0, R 1)$ . Ce cas généralise en fait le premier. Ces points sont des pôles d'ordre au plus $p$ de $\ f$ , il peut en exister qui sont réguliers (ordre 0). Exemples de fonctions présentant de tels coefficients : $f(z)=\frac{1}{z^k}$ en 0 (0 est un pôle d'ordre k de $\ f$ ), ou plus généralement les fonctions rationnelles en leurs pôles.

- Dans les autres cas, il existe parmi les points de $A$ contenus dans le disque $D (z 0, R 1)$ au moins un point sur lequel il n'est pas possible de tenter un des prolongements ci dessus, un tel point est dit point singulier essentiel de $f$ . Exemple : $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ en 0, 0 est un point singulier essentiel de $\ f$ .

ce théorème concerne en particulier les fonctions méromorphes.
en pratique, ce développement s'effectue surtout en zéro.
en pratique, dans le cas d'une fonction rationnelle qu'on cherche à développer en zéro, les coefficients $c n$ se calculent via un classique développement en série en zéro des éléments simples.
en pratique, le calcul des coefficients (en n'importe quel point) peut également s'effectuer grâce au théorème des résidus, souvent plus compliqué que de développer en série des fonctions rationnelles, mais qui reste en général plus simple que l'utilisation de la formule directe.

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Représentations graphiques de fonctions holomorphes, par Mikaël Mayer.

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Analyse complexe

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