Pôle (mathématiques)

Pôle (mathématiques)
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En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité qui se comporte comme la singularité z = 0 de la fonction \mathbb{C}^\star \to \mathbb{C}, z \mapsto \frac{1}{z^n} \,.

Un pôle de la fonction f est un point a pour lequel f(z) tend vers l'infini lorsque z tend vers a.

Formellement, soient U un ouvert du plan complexe \mathbb{C}, a un élément de U et f: U \setminus \{a\}\rightarrow \mathbb{C} une fonction holomorphe. S'il existe une fonction holomorphe g:U \rightarrow \mathbb{C} et un entier naturel non nul n tels que :

g(a) \neq 0\quad \mathrm{et}\quad f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n} pour tout z dans U \setminus \{a\}

alors a est un pôle de de f. L'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est un pôle simple.

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