Fonction homogene

Fonction homogene

Fonction homogène

En mathématique, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’echelle multiplicatif par rapport à son ou ses argument : si l’argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance.

Sommaire

Définition

Soit

f: V \rarr W \qquad\qquad

une fonction entre deux espaces vectoriels sur un même corps F \qquad\qquad.

Alors f \qquad\qquad est homogène de degré k \qquad\qquad si

f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) est vrai pour tout \alpha \isin F \qquad\qquad et \mathbf{v} \isin V \qquad\qquad.

Exemple dans \mathbb{R}^2

Par exemple, pour une fonction f de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}, homogène de degré 4, on aura :

f: \mathbb{R}^2 \rarr \mathbb{R} \qquad\qquad

f(\alpha x_1,\alpha x_2) = \alpha^4 \times f(x_1,x_2)

Propriété

Toute fonction homogène vérifie le théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables).

Notes et références de l'article

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