- Zéro d'une fonction holomorphe
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En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction analytique ou holomorphe f un nombre complexe a tel que f(a) = 0.
Sommaire
Ordre de multiplicité d'un zéro isolé
Soient un ouvert (non vide) de et une fonction analytique .
On considère un zéro de . Il existe un disque ouvert inclus dans où se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à ):
- (le terme constant est ).
Deux cas (seulement) sont possibles :
- Si pour tout , , alors
- : est identiquement nulle sur ; est donc dans ce cas un zéro non isolé.
- Dans le cas contraire, soit l'indice du premier coefficient non nul de la série entière ( et ) : on peut écrire
- , où
- La fonction ainsi définie est analytique et .
- Par continuité de en :
- il existe un réel strictement positif tel que et tel que .
- Finalement :
- et .
- On en déduit que est le seul point de où s'annule ; est donc dans ce cas un zéro isolé.
On peut alors énoncer :
Théorème et définition
Un élément de est un zéro isolé de la fonction analytique si et seulement s'il existe :
- un entier strictement positif
- un disque ouvert inclus dans
- une fonction analytique telle que et
Dans ce cas, l'entier (unique) est appelé ordre de multiplicité (ou multiplicité) du zéro isolé .
Lorsque , on dit que est un zéro simple.Remarque
- L'ordre de multiplicité n'est défini que pour les zéros isolés d'une fonction analytique.
- On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.
Compte tenu de ce que (avec les notations déjà utilisées) pour tout et de ce que l'ordre de multiplicité d'un zéro isolé est l'indice du premier coefficient non nul du développement de en série entière au voisinage de , on peut donner la caractérisation suivante de l'ordre de multiplicité :Propriété
Soient un élément de et un entier naturel non nul.
Pour que soit un zéro isolé d'ordre de la fonction analytique , il faut et il suffit que :- pour tout entier tel que ,
- et
Exemple
Soient et . Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ) et en est un zéro isolé d'ordre 2.
On vérifie en effet que et .
Applications
Soient un ouvert de et une fonction analytique .
- Compte tenu de la caractérisation des zéros isolés par les dérivées successives, on peut affirmer : pour qu'un zéro de soit non isolé, il faut et il suffit que pour tout .
- L'étude faite plus haut a montré la propriété suivante :
Principe des zéros isolés
Si est un zéro non isolé de la fonction analytique , alors il existe un disque ouvert inclus dans sur lequel est nulle.
On en déduit lePrincipe du prolongement analytique
Soient un ouvert connexe de et deux fonctions analytiques sur .
S'il existe dans l'ensemble au moins un point non isolé, alors .
On l'énonce souvent sous la forme suivante :Soient un ouvert connexe de , deux fonctions analytiques sur et .
S'il existe une suite à termes dans , convergeant vers , telle que pour tout , ,
alors .
On peut interpréter ainsi ce théorème : si deux fonctions analytiques sur un ouvert connexe prennent les mêmes valeurs sur un sous-ensemble dont certains points sont assez "resserrés", alors elles sont égales.Démonstration
Soit l'ensemble des zéros non isolés de la fonction analytique :
- c'est un sous-ensemble non vide de , car
- il est fermé. En effet d'après 1., , où pour tout , ; chaque est fermé (image réciproque du fermé {0} par la fonction continue ), donc est une intersection de fermés ;
- il est ouvert. En effet, si , il existe (principe des zéros isolés) un disque ouvert inclus dans sur lequel est nulle : tous les points de ce disque sont donc des zéros non isolés de , ce qui prouve que ;
- comme est connexe, il résulte des 3 points précédents que , donc est nulle sur , autrement dit, .
Exemple
Soit un ouvert connexe de contenant un intervalle de non réduit à un point : les points de sont non isolés.
Si les fonctions sont analytiques sur et telles que pour tout , alors ;
autrement dit, pour tout .Cela signifie qu'une fonction admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe de contenant .
- Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à de la fonction exponentielle réelle.
- On suppose connue l'identité pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
- Soit (quelconque). On définit sur (ouvert connexe) deux fonctions analytiques en posant et . Pour tout , donc (principe du prolongement analytique), pour tout , ou .
- Ceci prouve : quels que soient et , .
- Soit (quelconque). On définit sur (ouvert connexe) deux fonctions analytiques en posant et . Pour tout (voir supra), donc (principe du prolongement analytique), pour tout , ou .
- Ceci prouve : quels que soient et , .
Voir aussi
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