- Lacet (mathématiques)
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Pour les articles homonymes, voir Lacet.En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est un chemin continu et fermé, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.
Définitions
Si X est un espace topologique, on appelle lacet sur X toute application continue
![\gamma \, : \, [0,1] \rightarrow X](6/b5637ba65eb3449af2b37da8c21354bf.png)
telle que γ(0) = γ(1).Autres définitions :
- Un lacet sur X est un chemin sur X dont l'extrémité est confondue avec l'origine.
- Un lacet sur X est une application continue de S1 vers X (où S1 dénote le cercle unité
).
En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.
Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique, soit que a=b, soit que {a,b} = {0,1}. Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe Ck (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.
Indice d'un lacet dans le plan complexe
Article détaillé : Indice (analyse complexe).Dans le cas
, on peut définir l'indice I(γ,z0) d'un lacet γ par rapport à un point ![z_0\in\mathbb{C} \smallsetminus \gamma([0, 1])](0/060ca09c92ba76369a091f2a146b519d.png)
: il correspond au nombre (entier algébrique) de tours effectués par le lacet autour de ce point.On peut l'obtenir en calculant :
Voir aussi
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