Espace dual

Pour les articles homonymes, voir Dualité (mathématiques) et Dualité.

En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel $E$ est l'ensemble des formes linéaires sur $E$ .

La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.

Le dual topologique est une variante très considérée en analyse fonctionnelle, lorsque l'espace vectoriel est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Exemples
  - 1.1.1 Cas d'un espace préhilbertien
2 Dualité en dimension finie
- 2.1 Exemple
3 Orthogonal
4 Représentation des sous-espaces
5 Transposition
- 5.1 Exemple élémentaire
6 Bidual
7 Cas d'un corps de base non commutatif
8 Voir aussi

Définitions

Soient $(K,+, \times)$ un corps commutatif, $E$ un $K$ -espace vectoriel

On appelle forme linéaire sur $E$ toute application linéaire de $E$ vers $K$ , c'est-à-dire toute application $\phi : E \to K$ telle que

$\forall (x,y) \in E^2,\ \forall \lambda \in \mathbb{K},\ \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y).$

L'ensemble $\mathcal{L}(E,K)$ des formes linéaires sur $E$ est un $K$ -espace vectoriel, dit espace dual de $E$ ; il est noté $E *$ .

Si $ϕ$ est un élément de $E *$ et $x$ un élément de $E$ , on écrit parfois ${}^{\langle\varphi,x\rangle}$ pour $ϕ(x)$ . Cette notation est dite crochet de dualité.

Exemples

Cas d'un espace préhilbertien

Si l'espace vectoriel $E$ est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire $\langle \cdot \rangle$ , on a un moyen naturel de « plonger » $E$ dans $E *$ , c'est-à-dire d'associer à chaque élément de $E$ un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme entre $E$ et un sous-espace de $E *$ : à chaque élément $x$ de $E$ on associe la forme linéaire $\phi_x : E \to K;\ y \mapsto \langle x,y\rangle$ . Alors l'application $f : E \to E^*;\ x \mapsto \phi_x$ est une application linéaire injective, donc l'espace $E$ est isomorphe au sous-espace $f (E)$ de $E *$ .

Dualité en dimension finie

Si l'espace $E$ est de dimension finie $n$ , alors l'espace dual $E *$ , isomorphe à $E$ , est lui aussi de dimension $n$ . On peut raffiner ce résultat.

Théorème de la base duale — Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ . Alors la famille $(e_1^*,\ldots,e_n^*)$ de vecteurs de $E *$ définie par

$\forall i \in \{1,\ldots,n\},\ \forall x \in E,\ e_i^*(x)=x_i;$

(où $x i$ est la coordonnée de $x$ correspondant au vecteur $e i$ ) est une base de $E *$ , appelée base duale. En particulier, on a

$\dim E= \dim E^*~.$

En dimension finie, un espace a donc la même dimension que son espace dual. Remarquons que d'après le théorème d'Erdős-Kaplansky, ceci est faux pour tout espace vectoriel de dimension infinie.

Exemple

Les polynômes de Lagrange associés à n + 1 scalaires distincts x₀, x₁, …, x_n forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. La base duale est formée des n + 1 fonctions d'évaluation Φ_i ( P ) = P( x_i ).

Orthogonal

Ici, $E$ est un espace vectoriel quelconque (on ne le suppose pas de dimension finie).

Rappelons que les notations ${}^{\langle\varphi,x\rangle}$ et $ϕ(x)$ désignent toutes les deux, l'image de $x \in E$ par la forme linéaire $ϕ$ .

Si $A$ est un sous-espace de $E$ , on définit l'orthogonal (ou annulateur) $A^\circ$ de $A$ dans $E *$ par :

$A^\circ=\{\phi \in E^* \,|\, \forall x \in A,\ \langle\phi,x\rangle=0\}.$

Si $B$ est un sous-espace de $E *$ , on définit l'orthogonal $B^\bot$ de $B$ dans $E$ par :

$B^\bot=\{x \in E\colon\forall \phi \in B, \langle\phi,x\rangle=0\} \,$

Dans le cas particulier d'un espace euclidien, de dimension finie, l'application $x\mapsto \phi_x$ définie dans le paragraphe espaces préhilbertiens ci-dessus est un isomorphisme de $E$ sur de $E^\ast$ . Modulo cet isomorphisme, on retrouve alors l'orthogonalité définie par le produit scalaire.

Représentation des sous-espaces

Ce paragraphe présente une application très importante de l'étude de l'espace dual : la représentation d'un sous-espace comme intersection d'hyperplans. On se restreint ici au cas d'un espace vectoriel de dimension finie.

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ .

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $p$ (distinct de $E$ ) ; on a donc $p < n$ .

Alors, il existe $q = n - p$ formes linéaires indépendantes $\phi_1,\ldots, \phi_q$ telles que

$F=\bigcap_{i=1}^q \ker \phi_i;$

c'est-à-dire que pour tout vecteur $x$ de $E$ ,

$x \in F \Longleftrightarrow \left( \phi_1(x)=0~\text{et}~\phi_2(x)=0~\text{et}~\ldots~\text{et}~\phi_q(x)=0\right).$

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droite ou de plan par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de 2 plans indépendants est une droite.

Nota : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.

On peut donc représenter un sous-espace vectoriel de codimension $q$ par $q$ équations linéaires indépendantes.

Transposition

Si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels sur $K$ et $u\in\mathcal{L}(E,F)$ une application linéaire, l'application transposée de $u$ , notée $t u$ , est l'application de $F^\ast$ dans $E^\ast$ donnée par

$\forall \eta\in F^\ast,\forall x\in E, \langle {}^tu(\eta),x\rangle = \langle \eta,u(x)\rangle$

Il est immédiat que $t u$ est une application linéaire, et que l'application $u\mapsto {}^tu$ est linéaire.

Si $E$ , $F$ et $G$ sont trois espaces vectoriels, on a

$\forall u\in\mathcal{L}(E,F),\forall v\in\mathcal{L}(F,G), {}^t(v\circ u)= {}^tu\circ {}^tv$

(Dans le langage des catégories, cela signifie que l'opération qui associe à un espace vectoriel son dual est un foncteur contravariant.)

Exemple élémentaire

Si $E = K m$ et $F = K n$ , alors $\mathcal{L}(E,F)= \mathrm{Mat}_{nm}(K)$ et on retrouve la transposition des matrices.

Bidual

On définit une application linéaire $i$ de $E$ dans $(E^\ast)^\ast$ par la formule

$\forall \xi\in E^\ast,\ \langle i(x),\xi\rangle = \langle \xi, x \rangle$

Autrement dit, $i (x)$ est la forme linéaire sur $E^\ast$ qui à toute forme linéaire $ξ$ sur $E$ associe $\langle \xi, x\rangle$

L'application $i$ est injective : il résulte de l'existence de base que pour tout $x$ non nul de $E$ il existe une forme linéaire $ξ$ telle que $\langle \xi, x\rangle\not=0$ .

Si $E$ est de dimension finie, c'est donc un isomorphisme, dit naturel ou canonique, car il dépend de la seule donnée de $E$ .

Par contre, $i$ n'est jamais surjective si $E$ n'est pas de dimension finie.

Dans le cas des espaces vectoriels topologiques, la situation est sensiblement différente (voir l'article Dual topologique).

Cas d'un corps de base non commutatif

Sur un corps non commutatif, il faut distinguer les espaces vectoriels à gauche, si l'action du groupe multiplicatif $K^\ast$ est une action à gauche, et les espaces vectoriels à droite si cette action est une action à droite.

Le dual d'un espace vectoriel à gauche est un espace vectoriel à droite.

Soient en effet $u\in\mathcal{L}(E,K)$ et $\lambda\in K$ . On définit $u\cdot\lambda$ par la formule

$(u\cdot\lambda)(x)= u(x)\lambda$

C'est bien une application linéaire car, pour $x\in E$ et $\lambda,\mu\in K$ , on a

$(u\cdot\lambda)(\mu x)=u(\mu x)\lambda= (\mu u(x))\lambda=\mu \big(u(x)\lambda) =\mu\big( (u\cdot\lambda) (x)\big)$

Il faut remarquer au passage que si $E$ et $F$ sont de dimension au moins 2, $\mathcal{L}(E,F)$ n'est plus un espace vectoriel, mais seulement un groupe abélien.

Voir aussi

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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