- Foncteur
-
En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme.
Sommaire
Définitions
Un foncteur (ou foncteur covariant)
d'une catégorie
dans une catégorie
est la donnée
- d'une fonction qui, à tout objet A de
, associe un objet
de
,
- d'une fonction qui, à tout morphisme
de
, associe un morphisme
de
,
qui
- respectent les identités : pour tout objet A de
,
,
- respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes
et
de
,
.
Un foncteur contravariant G d'une catégorie
dans une catégorie
est un foncteur covariant de la catégorie opposée
dans
(à tout morphisme
de
il associe donc un morphisme
de
, et on a la « relation de compatibilité »
).
On voit immédiatement que l'image d'un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme.
Foncteurs adjoints
Soient C et D deux catégories, F un foncteur de C dans D et G de D dans C tels que pour tout objet
et
on ait une bijection naturelle en X et Y
. Alors F et G sont des foncteurs adjoints, F est adjoint à gauche de G et G est adjoint à droite de F.
Exemples
- Le foncteur identité d'une catégorie
, souvent noté
, qui laisse les objets et les morphismes de la catégorie invariants.
- Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
-
- le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien) ;
- le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe l'ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).
- Le foncteur de faisceaux, d'une catégorie dans la catégorie de ses faisceaux, qui associe à chaque objet X le faisceau
et son dual (contravariant) qui lui associe
. Dans ce cas Hom( * ,pt) est le faisceau terminal (ou constant ou point) et
l'initial (ou vide). Le foncteur de faisceau est une représentation d'une catégorie dans son topos et permet d'identifier chaque objet au faisceau qu'il représente.
- Une catégorie possédant un seul objet, et dont la classe des morphismes est un ensemble, n'est rien d'autre qu'un monoïde, et entre deux telles catégories, les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.
Propriétés de foncteurs
Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles
On dit qu'un foncteur
est fidèle si pour couple d'objets A,B dans
, deux morphismes
sont égaux si et seulement si les morphismes
sont égaux. On dit que F est plein si tout morphisme
est égal à un F(f). Un foncteur pleinement fidèle est un foncteur à la fois fidèle et plein.
Par exemple, le foncteur d'oubli de Ab dans Grp est pleinement fidèle; le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle mais pas plein. Si F est l'inclusion d'une sous-catégorie
dans une catégorie
, alors il est fidèle, sans être toujours pleinement fidèle.
Équivalence de catégories
Un foncteur
est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur
tel qu'il existe un isomorphisme naturel de foncteurs entre
(resp.
) et l'identité sur
(resp.
). Une équivalence de catégories est une notion plus générale que celle des isomorphismes de catégories.
Remarques
- Le foncteur constant (tous les objets ont le même objet image et chaque flèche est envoyée sur l'identité) est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
- Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie
des petites catégories.
- d'une fonction qui, à tout objet A de
Wikimedia Foundation. 2010.