Espace de Hilbert

Espace de Hilbert: Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet, c'est-à-dire un espace de Banach dont la norme $||.||$ découle d'un produit scalaire ou hermitien <·,·> par la formule $\| x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}.$ C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

Sommaire

1 Théorème de M. Fréchet-J. von Neumann-P. Jordan

2 Exemples d'espaces de Hilbert

3 Voir aussi

3.1 Articles connexes

3.2 Lien externe

Théorème de M. Fréchet-J. von Neumann-P. Jordan

Un espace de Banach (respectivement espace vectoriel normé) est un espace de Hilbert (respectivement espace préhilbertien) si et seulement si sa norme vérifie l'égalité
$\| x + y\|^2 + \| x - y\|^2 = 2 ( \| x\|^2 + \| y\|^2)$ ,
qui signifie que la somme des carrés des côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des diagonales (règle du parallélogramme).

Identité de polarisation :

Dans le cas réel le produit scalaire est défini par $\langle x,y \rangle = \frac{1}{4}\bigl(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2\bigr)$ .

Dans le cas complexe le produit hermitien est défini par $\langle x,y \rangle = \langle x,y \rangle_1+ i \langle x,iy \rangle_1$ , où $\langle x,y \rangle_1 = \frac{1}{4}\bigl(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2\bigr)$ et $i$ est l'unité imaginaire (le nombre complexe identifié au couple de réels $(0,1)$ ).

Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base de Hilbert qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie. C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée la théorie de la formulation variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique.

En mécanique quantique, l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

Exemples d'espaces de Hilbert

L'espace euclidien $\R^n$ muni du produit scalaire usuel.

L'espace $L 2 ( [a,b] )$ des fonctions de $[a, b]$ à valeurs dans $\C$ et de carré sommable avec la convention que deux fonctions égales presque partout sont égales (voir l'article espace $L p$ ), muni de $\langle f,g \rangle = \int_a^bf(x)\overline{g(x)}~\mathrm dx$ .

L'espace de suites ℓ², constitué des suites $(u_n)_{n \in\N}$ de nombres complexes telles que $\sum_{n=0}^\infty|u_n|^2<+\infty$ , le produit hermitien de deux suites $u$ et $v$ étant par définition la somme de la série $\sum_{n=0}^\infty u_n\overline{v}_n$

En fait, tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à ℓ², voir l'article sur les bases de Hilbert.

Voir aussi

Articles connexes

Théorème de représentation de Riesz

Théorème de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert

Théorème de Lax-Milgram

Théorème de Stampacchia

Espace de Sobolev

Mesure secondaire

Lien externe

Cours d'analyse — Jacques Harthong

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