Espace Lp

En mathématiques, un espace L^p est un espace vectoriel de fonctions dont la puissance d'exposant p est intégrable au sens de Lebesgue, où p est un nombre réel strictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des espaces L^∞ de fonctions bornées.

Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble négligeable, chaque espace L^p est un espace de Banach lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1. Lorsque 0 < p < 1, l'intégrale définit une quasi-norme qui en fait un espace complet. Il existe en outre une dualité entre les espaces d'exposants p et q conjugués, c'est-à-dire tels que ¹⁄_p + ¹⁄_q = 1.

Les espaces L^p généralisent les espaces L² des fonctions de carré intégrable, mais aussi les espaces l^p de suites de puissance p intégrable.

Diverses constructions étendent encore cette définition à l'aide de distributions ou en se contentant d'une intégrabilité locale.

Tous ces espaces constituent un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle en permettant la résolution d'équations par approximation avec des solutions non nécessairement dérivables ni même continues.

Définition

Exposant fini

La norme p sur l'espace vectoriel de dimension finie Rⁿ s'étend aux fonctions continues sur un segment [a ; b] par

et plus généralement aux fonctions mesurables sur un espace mesuré (X,A,μ) et à valeurs réelles ou complexes et de puissance p intégrable par :

Sur un domaine X d'un espace euclidien, la mesure est en général celle de Lebesgue.

Or une fonction s'annulant presque partout est d'intégrale nulle. L'espace L^p(X,A,μ) est alors défini comme quotient de l'espace des fonctions p intégrables, souvent noté

par le sous-espace vectoriel des fonctions presque nulles. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont presque partout égales, autrement dit qui ne diffèrent que sur un ensemble de mesure nulle.

Dans le cadre de la théorie de Riemann, l'espace L^p(R) peut aussi se définir par un procédé de complétion.

Exposant infini

L'espace est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées presque partout).

Ensuite, l'espace est l'espace vectoriel quotient de par la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Propriétés

Norme et complétude

L'expression entre doubles barres donnée ci-dessus est bien positive et ne s'annule que pour la classe de la fonction nulle dans L^p(X,A,μ). En outre, elle est homogène, c'est-à-dire que pour tout scalaire λ,

Cependant, elle ne satisfait l'inégalité triangulaire que pour p supérieur ou égal à 1. Dans ce cas, les espaces L^p et L^∞ sont des espaces de Banach, c'est-à-dire que la norme ainsi définie est complète : c'est le théorème de Riesz-Fischer.

Inclusions

Si la mesure est finie, alors la famille des espaces L^p est décroissante par rapport à l'exposant, avec des injections continues

dès que p est plus petit ou égal à q. C'est le cas par exemple si le domaine X est un domaine borné de Rⁿ ou pour une mesure de probabilités.

Si les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même réel strictement positif, la famille des L^p est croissante par rapport à l'exposant, avec des injections continues

dès que p est plus petit ou égal à q.

Dans le cas où l'espace X est fini et muni de la mesure de comptage, les deux conditions ci-dessus sont satisfaites et tous les espaces L^p sont identifiés à un même espace vectoriel de dimension finie muni de la norme p.

Soit 1 ≤ p < q <∞ et alors pour tout on a . De plus on a aussi .

Dualité

Pour 1 < p < +∞, l'espace dual de L^p s'identifie à l'espace L^q, où q est défini de façon que ¹⁄_p + ¹⁄_q = 1.

L'espace dual de L¹ est mais l'espace dual de contient strictement L¹.

Exemples

Si X est l'ensemble N des entiers naturels, muni de la tribu grossière, et que μ est la mesure de comptage, l'espace L^p(X,A,μ) n'est autre que l'espace l^p(N) des suites réelles dont la puissance d'exposant p est sommable.

Avec X = R muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue

• la fonction définie sur est dans L², mais pas dans L¹ ;
• la fonction , définie sur R, qui vaut 1 en chaque nombre rationnel et 0 partout ailleurs, est dans et coïncide, dans cet espace, avec la fonction constante de valeur nulle, du fait que l'ensemble des rationnels est de mesure nulle dans R.

Références

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• Jacques Faraut, Calcul intégral [détail des éditions]

Voir aussi

• Espace L¹
• Espace L²
• Espace L^∞
• Espace L¹_loc
• Espace de suites l^p
• Espace de Sobolev
• Espace de Birnbaum–Orlicz

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