Theoreme du graphe ferme

Theoreme du graphe ferme

Théorème du graphe fermé

Le théorème du graphe fermé affirme que si E et F sont deux espaces de Banach, f une application linéaire de E dans F, alors f est continue si et seulement si le graphe de f est une partie fermée de E \times F.

Pour comprendre le sens du théorème du graphe fermé, notons les propositions :

  1. élément xn converge vers un élément x ;
  2. élément Txn converge vers un élément y ;
  3. élément Tx = y.

Pour démontrer qu'un opérateur T est continu, on doit a priori montrer que 1. implique 2. et 3.. Le théorème du graphe fermé prouve qu'il suffit en fait de montrer que 1. et 2. impliquent 3..

Ce théorème prouve en particulier qu'un opérateur non borné fermé qui est défini sur tout l'espace de départ est en fait un opérateur borné.

Démonstration

Le théorème du graphe fermé se démontre facilement à partir du théorème d'isomorphisme de Banach, qui est lui-même une conséquence immédiate du théorème de l'application ouverte.

D'abord, le graphe d'une application continue est toujours fermé (facile).

Réciproquement, soit f : E \rightarrow F linéaire entre deux espaces de Banach E et F, supposons son graphe Γf fermé. Alors E\times F est un Banach et, comme f est linéaire, son graphe Γf est un sous-espace vectoriel de E\times F, fermé par hypothèse, donc Γf est aussi muni d'une structure d'espace de Banach. Considérons les projections p_1 : \Gamma_f\rightarrow E et p_2 : \Gamma_f\rightarrow F : ce sont des applications linéaires continues, et p1 est bijective, donc p_1^{-1} est continue par le théorème d'isomorphisme de Banach. Enfin, f=p_2\circ p_1^{-1} est continue.

Voir aussi

Théorèmes de l'analyse fonctionnelle

Théorème d'Ascoli • Théorème de Baire • Théorème de Banach-Alaoglu • Théorème de Banach-Mazur • Théorème de Banach-Schauder • Théorème de Banach-Steinhaus • Théorème du graphe fermé • Théorème de Hahn-Banach • Théorème de Lax-Milgram

modifier
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me du graphe ferm%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme du graphe ferme de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème du graphe fermé — Le théorème du graphe fermé affirme que si E et F sont deux espaces de Banach, f une application linéaire de E dans F, alors f est continue si et seulement si le graphe de f est une partie fermée de . Pour comprendre le sens du théorème du graphe …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Banach-Schauder — Théorème de Banach Schauder En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de banach-schauder — En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces vectoriels normés complets est …   Wikipédia en Français

  • Théorème de l'application ouverte — Théorème de Banach Schauder En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de projection sur un convexe ferme — Théorème de projection sur un convexe fermé En mathématiques, le théorème de projection orthogonale sur un convexe est un résultat de minimisation de la distance qui généralise la projection orthogonale sur un espace vectoriel. Il remplace… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de projection orthogonale sur un convexe — Théorème de projection sur un convexe fermé En mathématiques, le théorème de projection orthogonale sur un convexe est un résultat de minimisation de la distance qui généralise la projection orthogonale sur un espace vectoriel. Il remplace… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Hahn-Banach — Théorème de Hahn Banach Ce théorème, auquel a été donné le nom des deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, garantit l existence d une forme linéaire vérifiant certaines conditions (valeurs imposées sur une partie de l espace, mais… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de hahn-banach — Ce théorème, auquel a été donné le nom des deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, garantit l existence d une forme linéaire vérifiant certaines conditions (valeurs imposées sur une partie de l espace, mais limitées partout). En… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de baire — Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire. Un espace topologique est dit de Baire si toute intersection dénombrable d ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme du supplementaire orthogonal d'un ferme dans un espace de Hilbert — Théorème du supplémentaire orthogonal d un fermé dans un espace de Hilbert Le théorème du supplémentaire orthogonal d un fermé dans un espace de Hilbert est un théorème d analyse fonctionnelle. Énoncé Si H est un espace de Hilbert, et F un sous… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”