Theoreme du graphe ferme

Theoreme du graphe ferme

Théorème du graphe fermé

Le théorème du graphe fermé affirme que si E et F sont deux espaces de Banach, f une application linéaire de E dans F, alors f est continue si et seulement si le graphe de f est une partie fermée de E \times F.

Pour comprendre le sens du théorème du graphe fermé, notons les propositions :

  1. élément xn converge vers un élément x ;
  2. élément Txn converge vers un élément y ;
  3. élément Tx = y.

Pour démontrer qu'un opérateur T est continu, on doit a priori montrer que 1. implique 2. et 3.. Le théorème du graphe fermé prouve qu'il suffit en fait de montrer que 1. et 2. impliquent 3..

Ce théorème prouve en particulier qu'un opérateur non borné fermé qui est défini sur tout l'espace de départ est en fait un opérateur borné.

Démonstration

Le théorème du graphe fermé se démontre facilement à partir du théorème d'isomorphisme de Banach, qui est lui-même une conséquence immédiate du théorème de l'application ouverte.

D'abord, le graphe d'une application continue est toujours fermé (facile).

Réciproquement, soit f : E \rightarrow F linéaire entre deux espaces de Banach E et F, supposons son graphe Γf fermé. Alors E\times F est un Banach et, comme f est linéaire, son graphe Γf est un sous-espace vectoriel de E\times F, fermé par hypothèse, donc Γf est aussi muni d'une structure d'espace de Banach. Considérons les projections p_1 : \Gamma_f\rightarrow E et p_2 : \Gamma_f\rightarrow F : ce sont des applications linéaires continues, et p1 est bijective, donc p_1^{-1} est continue par le théorème d'isomorphisme de Banach. Enfin, f=p_2\circ p_1^{-1} est continue.

Voir aussi

Théorèmes de l'analyse fonctionnelle

Théorème d'Ascoli • Théorème de Baire • Théorème de Banach-Alaoglu • Théorème de Banach-Mazur • Théorème de Banach-Schauder • Théorème de Banach-Steinhaus • Théorème du graphe fermé • Théorème de Hahn-Banach • Théorème de Lax-Milgram

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