Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert est un théorème d'analyse fonctionnelle.

Sommaire

Énoncé

Si H est un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel fermé de H alors l'orthogonal de F est un sous-espace supplémentaire de F, c'est-à-dire que H = F \oplus F^\bot.

Ce résultat subsiste si l'on suppose seulement que H est un espace préhilbertien et que F est un sous-espace vectoriel complet de H.

Démonstrations

Comme on a toujours F \cap F^\bot =\{0\}, le seul problème est de prouver que tout vecteur x de H est somme d'un vecteur u de F et d'un vecteur v orthogonal à F.

Par le théorème de projection sur un convexe

F est un espace vectoriel, donc convexe, et complet par hypothèse. On peut donc appliquer le théorème de projection sur un convexe complet dans un préhilbert : pour tout vecteur x de H, il existe un vecteur p(x)=u de F vérifiant :

\forall y \in F \quad \langle x - u \, , \, y - u \rangle \; \le \; 0,

(Il s'agit ici d'un produit scalaire < , > R-bilinéaire à valeurs réelles : lorsque H est un préhilbertien complexe, muni d'un produit scalaire hermitien < , >C, on se ramène au cas réel en posant < , >=Re(< , >C).)

Posons v=x-u : il reste à prouver que v est orthogonal à F. Or par choix de u, on a :

\forall z \in F, \quad \langle v \, , \, z \rangle \; \le \; 0,

et aussi (en remplaçant z par -z) :

\forall z \in F, \quad \langle v \, , \, z \rangle \; \ge \; 0,

si bien que

\forall z \in F, \quad \langle v \, , \, z \rangle \; = \; 0,

ce qui termine la preuve.

Par l'inégalité de Bessel

F est un espace de Hilbert, donc possède une base hilbertienne (ei). L'inégalité de Bessel permet de définir l'élément suivant de F :

p(x)=\sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle \cdot e_i,

et prouve au passage que x-p(x) est orthogonal à F, ce qui conclut.

Conséquences

Par conséquent c'est un endomorphisme idempotent, de noyau F^\bot et d'image F, qui vérifie

d(x,F)=\|x-p(x)\|.

Théorème de Hahn-Banach dans un Hilbert —  Soit F un sous-espace vectoriel fermé de H et f une forme linéaire continue sur F, alors il existe sur H une forme linéaire continue g prolongeant f et ayant la même norme d'opérateur.

Démonstration

Il suffit de considérer p, la projection orthogonale sur F, qui est linéaire et continue de norme 1 (ou 0 si F est réduit au vecteur nul), et de poser g=fop . On obtient

\|g\| \le \|f \|\cdot \|p\|\le \|f\|.

L'égalité des normes s'en déduit car le prolongement est égal à f sur F.

Si, sous cette forme, le résultat ne présente guère d'intérêt car il est valable dans un contexte plus général, il possède néanmoins des extensions spécifiques aux Hilbert. On démontre en effet, exactement par la même méthode :

Généralisation —  Soient G un espace vectoriel normé et, avec les notations du théorème précédent, a un opérateur continu de F dans G. Il existe un opérateur b prolongeant a sur H et de même norme.

Ce résultat n'est plus vrai dans le cadre général d'un espace de Banach.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert de Wikipédia en français (auteurs)

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