Formulation variationnelle

Formulation variationnelle

En mathématiques, la formulation variationnelle d'un problème régi par des équations aux dérivées partielles correspond à une formulation faible de ces équations qui s’exprime en termes d'algèbre linéaire dans le cadre d’un espace de Hilbert. A l’aide du théorème de Lax-Milgram, elle permet de discuter de l'existence et de l'unicité de solutions. La méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle pour déterminer des solutions numériques approchées du problème d’origine.

Équation de Poisson

Pour un ouvert Ω de  \R^n, considérons l’espace L2(Ω) des fonctions de carré intégrable et l’espace de Sobolev Hk(Ω) des fonctions dont les dérivées partielles jusqu’à l’ordre k sont dans L2(Ω).

Etant donné une fonction f \in L^2(\Omega), on cherche une solution du problème suivant (formulation forte) :

\begin{cases} u \in H^2(\Omega) \\ -\Delta u = f \text{ dans } \Omega \\ u = 0 \text{ sur } \partial\Omega \end{cases}


La formulation variationnelle correspondante est la suivante :

\begin{cases} u \in H^1(\Omega) \\ A(u,v) = F(v) \; \forall v \in H^1(\Omega) \, | \, v = 0 \text{ sur } \partial\Omega \\ u = 0 \text{ sur } \partial\Omega \end{cases}

A(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v et  F(v) = \int_\Omega fv.~

Le théorème de Lax-Milgram permet ensuite de conclure à l’existence et à l’unicité d’une solution de la formulation variationnelle.


A noter qu'une solution du premier problème est toujours solution du second, alors que la réciproque n'est pas vraie (une solution dans H1(Ω) peut ne pas être assez régulière pour être dans H2(Ω)) : c'est d'ailleurs pour cette raison qu'une solution de la formulation variationnelle est parfois appelée solution faible (ou encore semi-faible).

Avec des conditions de bord plus générales que celles présentées ici, ce problème est plus amplement développé ici.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Formulation variationnelle de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Formulation faible — En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Une solution forte du problème d’origine est également… …   Wikipédia en Français

  • DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications — On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d’équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions… …   Encyclopédie Universelle

  • Effort sur une voile — Exemple d effort du vent sur différents types de voile de voiliers classiques lors d une régate à Cannes en 2006. Le principe d une voile est de récupérer l énergie du vent et de la transmettre au bateau. L effet propulsif est réparti sur toute… …   Wikipédia en Français

  • Methode des elements finis — Méthode des éléments finis Pour les articles homonymes, voir Élément. Solution bidimensionnelle d une équation magnétostatique obtenue par éléments fin …   Wikipédia en Français

  • Méthode Des Éléments Finis — Pour les articles homonymes, voir Élément. Solution bidimensionnelle d une équation magnétostatique obtenue par éléments fin …   Wikipédia en Français

  • Méthode des éléments finis — Pour les articles homonymes, voir Élément. Solution bidimensionnelle d une équation magnétostatique obtenue par éléments finis (les lignes donnent la direction du champ et la couleur son intensité) …   Wikipédia en Français

  • Éléments finis — Méthode des éléments finis Pour les articles homonymes, voir Élément. Solution bidimensionnelle d une équation magnétostatique obtenue par éléments fin …   Wikipédia en Français

  • AÉRODYNAMIQUE — L’aérodynamique, dont l’étymologie évoque immédiatement l’action de l’air en mouvement, est la science qui étudie les différents aspects de cette action, notamment les forces, pressions et moments qui résultent du déplacement des corps dans… …   Encyclopédie Universelle

  • Theoremes energetiques — Théorèmes énergétiques Les théorèmes énergétiques permettant de poser un problème de mécanique sous forme d un problème de minimisation, et donc d utiliser toutes les méthodes existantes pour ce genre de problèmes. Il y a deux théorèmes… …   Wikipédia en Français

  • Théorèmes énergétiques — Les théorèmes énergétiques permettant de poser un problème de mécanique sous forme d un problème de minimisation, et donc d utiliser toutes les méthodes existantes pour ce genre de problèmes. Il y a deux théorèmes énergétiques, l un est beaucoup… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”