Noyau reproduisant

En analyse fonctionnelle, un espace de Hilbert à noyau reproduisant est un espace de Hilbert de fonctions pour lequel toutes les applications $f \mapsto f(x)$ sont des formes linéaires continues. De manière équivalente, il existe des espaces qu'on peut définir par des noyaux reproduisants. Le sujet a été originellement et simultanément développé par Nachman Aronszajn (1907–1980) et Stefan Bergman (1895–1977) en 1950.

Dans cet article, on suppose que les espaces de Hilbert sont complexes. La principale raison est qu'il existe de nombreux exemples d'espaces de Hilbert à noyau reproduisant qui sont des espaces de fonctions analytiques, même s'il existe des espaces de Hilbert réels qui ont des noyaux reproduisants.

Un important sous-ensemble d'espaces de Hilbert à noyau reproduisant est constitué par les espace de Hilbert à noyau reproduisant associés à un noyau continu. Ces espaces ont d'importantes applications, dans les domaines de l'analyse complexe, la mécanique quantique, les statistiques et l'analyse harmonique.

Sommaire

1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés
- 3.1 Propriétés du noyau
- 3.2 Suites orthonormales
4 Théorème de Moore-Aronszajn
5 Noyau de Bergman
6 Notes et références

Définition

Soit X un ensemble arbitraire et H un espace de Hilbert de fonctions à valeurs complexes sur X. On dit que H est un espace de Hilbert à noyau reproduisant si toute forme linéaire de la forme

$L_{x} : f \mapsto f(x)$

de H dans $\mathbb{C}$ est continue pour tout x dans X. D'après le théorème de représentation de Riesz, cela implique que pour tout x dans X, existe un unique élément K_x de H avec la propriété que:

$f(x) = \langle f,\ K_x \rangle \quad \forall f \in H \quad (*).$

La fonction K_x s est appelée la fonctionnelle d'évaluation au point x.

Puisque H est un espace de fonctions, l'élément K_x est lui-même une fonction et peut donc être évaluée en chaque point. Nous définissons la fonction $K: X \times X \to \mathbb{C}$ par

$K(x,y) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \overline{K_x(y)}.$

Cette fonction est appelée le noyau reproduisant pour l'espace de Hilbert H et elle est déterminée entièrement par H car le théorème de représentation de Riesz garantit, pour tout x dans X, que l'élément K_x satisfaisant (*) est unique.

Exemples

Par exemple, si X est fini et H est fomé par toutes les fonctions à valeurs complexes sur X, alors un élément de H peut être représenté par une matrice colonne de nombres complexes. Si on utilise la forme hermitienne canonique, alors K_x est la fonction qui vaut 1 en x et 0 ailleurs, et K(x,y) n'est autre que la matrice identité puisque K(x,y)=1 si x=y et K(x,y)=0 autrement. Dans ce cas, H est isomorphe à $\mathbb{C}^n$ .

Un exemple plus sophistiqué est l'espace de Hardy H ²(D), l'espace des fonctions holomorphes de carré intégrable sur le disque unité D. Ici X=D, le disque unité. On peut montrer que le noyau reproduisant pour H ²(D) est

$K(x,y)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{(1-x\overline{y})^2}.$

Ce noyau est un exemple de noyau de Bergman, qui porte le nom de Stefan Bergman.

Propriétés

Propriétés du noyau

Il est clair d'après la discussion ci-dessus que

$K(x,y) \;=\; \overline{K_x(y)} \;=\; \langle K_y,K_x\rangle.$

En particulier,

$K(x,x) \;=\; \langle K_x, K_x \rangle \;\geq\; 0, \quad \forall x\in X.$

Notons que

$K_x \;=\; 0 \quad \text{ si et seulement si } \quad f(x) = 0 \quad \forall \; f\in H.$

Suites orthonormales

Si $\textstyle \left\{ \phi_{k}\right\} _{k=1}^{\infty}$ est une suite orthonormale telle que l'adhérence de l'espace vectoriel engendré est égal à $H$ , alors

$K\left( x,y\right) =\sum_{k=1}^{\infty}\phi_{k}\left( x\right) \overline{\phi _{k}\left( y\right)}.$

Théorème de Moore-Aronszajn

Dans les sections précédentes, on a défini une fonction noyau à partir d'un espace de Hilbert à noyau reproduisant. Il résulte de la définition d'une forme hermitienne que le noyau que nous avons défini est symétrique et défini positif. Le théorème de Moore-Aronszajn affirme que tout noyau défini positif symétrique définit un unique espace de Hilbert à noyau reproduisant. Le théorème apparaît pour la première fois dans l'article Theory of Reproducing Kernels d'Aronszajn, même s'il est attribué à E. H. Moore.

Théorème. Supposons que K soit un noyau symétrique et défini positif sur l'ensemble E. Alors il existe un unique espace de Hilbert de fonctions sur E pour lequel K est un noyau reproduisant.

Démonstration

Definissons, pour tout x dans E, $K_x = K(x, \cdot)$ . Soit H₀ l'espace vectoriel engendré par $\{K_x:\ x \in E \}$ . Définissons un produit hermitien sur H₀ par

$\left \langle \sum_{j=1}^n b_j K_{y_j}, \sum_{i=1}^m a_i K_{x_i} \right \rangle = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \overline{a_i} b_j K(y_j, x_i).$

La symétrie de ce produit résulte de la symétrie de K et la non-dégénéréscence résulte du fait que K est défini positif.

Soit H la complétion de H₀ pour ce produit intérieur. Alors H est fait de fonctions de la forme

$f(x) = \sum_{i=1}^\infty a_i K_{x_i} (x)$

où $\sum_{i=1}^\infty a_i^2 K (x_i, x_i) < \infty$ . Le fait que la somme précédente converge pour tout x résulte de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Nous pouvons alors vérifier la propriété (*):

$\langle f, K_x \rangle = \left \langle \sum_{i=1}^\infty a_i K_{x_i}, K_x \right \rangle = \sum_{i=1}^\infty a_i K (x_i, x) = f(x).$

Pour prouver l'unicité, soit G un autre espace de Hilbert de fonctions pour lequel K est un noyau reproduisant. Pour tout x et y dans E, (*) implique que

$\langle K_x, K_y \rangle_H = K(x, y) = \langle K_x, K_y \rangle_G. \,$

Par linéarité, $\langle \cdot, \cdot \rangle_H = \langle \cdot, \cdot \rangle_G$ sur l'espace vectoriel engendré par $\{K_x:\ x \in E \}$ . Alors G = H à cause de l'unicité de la complétion.

Noyau de Bergman

Article principal : Noyau de Bergman.

Le noyau de Bergman est défini sur des ensembles ouverts D dans Cⁿ. Prenons l'espace de Hilbert H des fonctions de carré intégrable pour la mesure de Lebesgue sur D, qui sont des fonctions holomorphes. La théorie n'est pas triviale dans le cas où il existe de telles fonctions, qui ne soient pas identiquement nulles. Alors H est un espace à noyau reproduisant, avec comme fonction noyau le noyau de Bergman; cet exemple, lorsque n = 1, a été introduit par Bergman en 1922.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reproducing kernel Hilbert space » (voir la liste des auteurs)

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