Entier sans facteur carré

Entier sans facteur carré

En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, un entier sans facteur carré est un entier divisible par aucun carré parfait, excepté 1. Par exemple, 10 est sans facteur carré mais 18 ne l'est pas, comme il est divisible par 9 = 3^2\,. Les petits nombres sans facteur carré sont 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, ...

Caractérisation équivalente des nombres sans facteur carré

L'entier n est sans facteur carré si et seulement si dans la décomposition en facteurs premiers de n, aucun nombre premier n'apparait plus d'une fois. Un autre point de vue équivalent est que pour chaque diviseur premier p de n, le nombre premier p ne divise pas \frac{n}{p}\,. Une autre formulation est la suivante : n est sans facteur carré si et seulement si dans chaque décomposition n=ab, les facteurs a et b sont premiers entre eux.

Pour tout nombre premier p, la valuation p-adique de l'entier n est au plus égale à 1. On dit aussi parfois qu'un tel nombre est quadratfrei. On rappelle que pour tout nombre premier p et tout entier naturel n, la valuation p-adique de n (parfois notée νp(n)) est égale, par définition, à l'exposant de p dans la décomposition de n en produit de nombres premiers.

Ainsi, si n=\Pi_{k=1...s}(p_k^{\alpha_k}), on a \nu_{p_k}(n)=\alpha_k, et n est quadratfrei équivaut à \forall p\in\mathcal P,\nu_p(n)\in \{ 0, 1 \}.

L'entier naturel n est sans facteur carré si et seulement si \mu(n) \ne 0\,, où \mu\, représente la fonction de Möbius.

L'entier naturel n est sans facteur carré si et seulement si tous les groupes abéliens d'ordre n sont isomorphes, ce qui est le cas si et seulement si tous sont cycliques. Ceci découle du théorème de Kronecker.

L'entier naturel n est sans facteur carré si et seulement si l'anneau factoriel \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\, (voir Anneau Z/nZ) est un produit de corps. Ceci découle du théorème des restes chinois et le fait qu'un anneau de la forme \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\, est un corps si et seulement si k est un nombre premier.

Pour chaque entier naturel n, l'ensemble de tous les diviseurs positifs de n est partiellement ordonné par la relation de divisibilité ; c'est même un treillis distributif et borné. C'est une algèbre de Boole si et seulement si n est sans facteur carré.

Un entier strictement positif est sans facteur carré si et seulement s'il est égal à son radical (i.e. au produit de ses diviseurs premiers).

Distribution des nombres sans facteur carré

Si Q(x)\, représente le nombre d'entiers sans facteur carré entre 1 et x, alors

Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})

(voir pi et notation grand O). La densité naturelle asymptotique des nombres sans facteur carré est par conséquent

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}

où \zeta\, est la fonction zêta de Riemann.

De même, si Q(x,n)\, représente le nombre d'entiers sans n-ième puissance entre 1 et x, on peut montrer

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.
v · Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre pratique
Nombres de diviseurs Nombre abondant · Nombre hautement abondant (en) · Nombre superabondant (en) · Nombre colossalement abondant (en) · Nombre hautement composé
Autre Nombre déficient · Nombre étrange · Nombre amical · Nombre sociable · Nombre solitaire (en) · Nombre sublime · Nombre à moyenne harmonique entière · Nombre frugal (en) · Nombre équidigital (en) · Nombre extravagant

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Entier sans facteur carré de Wikipédia en français (auteurs)

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