Produit d'anneaux

Produit d'anneaux

En algèbre générale, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit.

Définition

Cette construction peut se faire de la manière suivante: si I est un ensemble d'indices et Ai est un anneau pour tout indice i de I, alors le produit cartésien Πi dans I Ai peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e.

(ai) + (bi) = (ai + bi)
(ai) · (bi) = (ai · bi).

À la place de Π1≤i≤k Ai nous pouvons aussi écrire A1 × A2 × ... × Ak.

Exemples

Un exemple est l'anneau Z/nZ des entiers modulo n (voir arithmétique modulaire). Si n s'écrit comme un produit de puissances de facteurs premiers (voir le théorème fondamental de l'arithmétique):

n = p1n1 p2n2 ... pknk

où les pi sont tous distincts, alors \mathbb Z/n\mathbb Z est isomorphe à l'anneau produit

\mathbb Z/{p_1}^{n_1}\mathbb Z\times \mathbb Z/{p_2}^{n_2}\mathbb Z\times \cdots \mathbb Z/{p_k}^{n_k}\mathbb Z

Cela découle du théorème des restes chinois.

Propriétés

Si A = Πi dans I Ai est un produit d'anneaux, alors pour tout i dans I nous avons un morphisme surjectif pi : A → Ai qui projette un élément du produit sur la ième composante. Le produit A, ainsi que les projections pi, possèdent la propriété universelle suivante:

si B est un anneau quelconque et fi : B → Ai est un morphisme d'anneaux pour tout i dans I, alors il existe un unique morphisme d'anneaux f : B → A tel que pour tout i dans I, pi o f = fi.

Si I est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) de A, alors il existe des idéaux (à gauche, à droite ou bilatère respectivement) Ii de Ai tels que I = Πi dans I Ii. Inversement, un tel produit d'idéaux est un idéal de A. I est un idéal premier de A si et seulement si tous les Ii sauf un sont égaux à Ai et le restant Ii est un idéal premier de Ai.


Un élément x de A est inversible si et seulement si toutes ses composantes sont inversibles, i.e. si et seulement si pi(x) est un élément inversible de Ai pour tout i de T. Le groupe des éléments inversibles de A est le produit des groupes des inversibles de Ai.

Un produit de plus d'un anneau non nul a toujours des diviseurs de zéro : si x est un élément du produit dont les composantes sont nulles sauf pi(x), et y est un élément du produit dont toutes les composantes sont nulles sauf pj(y) (avec i ≠ j), alors xy = 0 dans l'anneau produit.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Produit d'anneaux de Wikipédia en français (auteurs)

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