Dodécaèdre adouci

Dodécaèdre adouci
Dodécaèdre adouci
Dodécaèdre adouci (Sah)
Dodécaèdre adouci (Sh)
Type Solide d'Archimède
Faces Triangles et Pentagones
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique		  
92
150
60
2
Faces par sommet 5
Sommets par face 3 et 5
Isométries Dual Hexacontaèdre pentagonal
Propriétés Semi-régulier et convexe, chiral
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Le dodécaèdre adouci ou icosidodécaèdre adouci est un solide d'Archimède.

Le dodécaèdre possède 92 faces dont 12 sont des pentagones et les 80 autres sont des triangles équilatéraux. Il possède aussi 150 arêtes et 60 sommets. Il a deux formes distinctes, qui sont les images dans un miroir (ou "énantiomorphes") l'une de l'autre.

Sommaire

Relations géométriques

Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une petite rotation de leurs centres (toutes en sens horaire (Sh) ou toutes en sens anti-horaire (Sah)) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux.

Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un dodécaèdre adouci sont toutes les permutations paires de

(\pm 2\alpha, \pm 2, \pm 2\beta)\,,
(\pm(\alpha + \frac{\beta}{\tau} + \tau), \pm(-\alpha \tau + \beta + \frac{1}{\tau}), \pm(\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau - 1)),
(\pm(-\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau + 1), \pm(-\alpha + \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau + \beta - \frac{1}{\tau})),
(\pm(-\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau - 1), \pm(\alpha - \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau + \beta + \frac{1}{\tau})) et
(\pm(\alpha + \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau - \beta + \frac{1}{\tau}), \pm(\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau + 1)),

avec un nombre pair de signes plus, où

\alpha = \xi - \frac{1}{\xi}

et

\beta = \xi \tau + \tau^2 + \frac{\tau}{\xi},

où \tau = \frac{(1+\sqrt{5})}{2} est le nombre d'or et \xi\, est la solution réelle de \xi^3 - 2\xi = \tau\,, qui est le nombre magnifique

\xi = \sqrt[3]{\frac{\tau}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\tau - \frac{5}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{\tau}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\tau - \frac{5}{27}}}

ou approximativement 1,7155615. En prenant les permutations impaires des coordonnées ci-dessus avec un nombre impair de signes plus donne une autre forme, l'énantiomorphe de celle-ci.

Patron (géométrie)

Références

  • Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, ISBN 0-486-23729-X

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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Solides géométriques
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Solides d'Archimède Tétraèdre tronqué · Cube tronqué · Octaèdre tronqué · Dodécaèdre tronqué · Icosaèdre tronqué · Cuboctaèdre · Cube adouci · Icosidodécaèdre · Dodécaèdre adouci · Petit rhombicuboctaèdre · Grand rhombicuboctaèdre · Petit rhombicosidodécaèdre · Grand rhombicosidodécaèdre
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