- Deltaèdre
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Un deltaèdre est un polyèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Le nom est issu de la lettre majuscule du grec delta (Δ), qui a la forme d'un triangle équilatéral. Il existe une infinité de deltaèdres, mais de ceux-ci, seuls huit sont convexes, ayant quatre, six, huit, dix, douze, quatorze, seize et vingt faces. Le nombre de faces, arêtes et sommets est listé ci-dessous pour chacun des huit deltaèdres convexes.
Les deltaèdre ne doivent pas être confondus avec les deltoèdres (épelé avec un "o"), les polyèdres dont les faces sont des cerf-volants.
Sommaire
Les huit deltaèdres convexes
Nom Image Faces Arêtes Sommets Configurations de sommet Tétraèdre régulier 4 6 4 4 × 3³ Diamant triangulaire 6 9 5 2 × 3³
3 × 34Octaèdre régulier 8 12 6 6 × 34 Diamant pentagonal 10 15 7 5 × 34
2 × 35Disphénoïde adouci 12 18 8 4 × 34
4 × 35Prisme triangulaire triaugmenté 14 21 9 3 × 34
6 × 35Diamant carré gyroallongé 16 24 10 2 × 34
8 × 35Icosaèdre régulier 20 30 12 12 × 35 Seuls trois deltaèdres sont des solides de Platon (polyèdres dans lequel le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet est constant) :
- le deltaèdre à 4 faces (ou tétraèdre), dans lequel trois faces se rencontrent à chaque sommet
- le deltaèdre à 8 faces (ou octaèdre), dans lequel quatre faces se rencontrent à chaque sommet
- le deltaèdre à 20 faces (ou icosaèdre), dans lequel cinq faces se rencontrent à chaque sommet
Dans le deltaèdre à 6 faces, certains sommets sont de degré 3 et certains de degré 4. Dans les deltaèdres à 10, 12, 14 et 16 faces, certains sommets sont de degrés 4 et certains de degré 5. Ces cinq deltaèdres irréguliers font partie de la classe des solides de Johnson : les polyèdres convexes dont les faces sont des polygones réguliers.
Les deltaèdres maintiennent leur forme, même si les arêtes sont libres de tourner autour de leurs sommets, c’est-à-dire que les angles entre les arêtes sont fluides. Les polyèdres n'ont pas tous cette propriété : par exemple, si vous relachez certains angles du cube, le cube peut être déformé en un prisme carré non droit.
Formes non-convexes
Il existe un nombre infini de formes non-convexes.
Quelques exemples de deltaèdres non-convexes :
D'autres peuvent être engendrés en ajoutant des pyramides équilatérales aux faces de ces cinq polyèdres réguliers :
- triakitétraèdre équilatéral
- tétrakihexaèdre équilatéral
- triakioctaèdre équilatéral (octangle étoilé)
- pentakidodécaèdre équilatéral
- triaki-icosaèdre équilatéral
De plus, en ajoutant des pyramides inversées aux faces :
- Troisième stellation de Wenninger de l'icosaèdre
Grand icosaèdre
(20 triangles se coupant)
Octangle étoilé
(24 triangles)
Troisième stellation de l'icosaèdre
(60 triangles)Liens externes
Références
- H. Martyn Cundy Deltahedra. Math. Gaz. 36, 263-266, Dec 1952. [2]
- H. Martyn Cundy and A. Rollett Deltahedra. §3.11 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142-144, 1989.
- Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 1 (Jan., 1978), pp. 55-57 [3]
- M. Gardner Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations, Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58-60, 1992.
- A. Pugh Polyhedra: A Visual Approach. Berkeley, CA: University of California Press, pp. 35-36, 1976.
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