Distribution Zeta

Distribution Zeta
Zéta
Densité de probabilité / Fonction de masse
Zeta distribution PMF.png
Fonction de répartition
Zeta distribution CMF.png

En théorie de probabilité et statistiques, la distribution zêta est une loi discrète de paramètre  s \neq 1 .

Sommaire

On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi zêta de valeur k si :


\mathbb{P}(X=k)=k^{-s}/\zeta(s)\,

ζ est la fonction zêta de Riemann non définie en 1.

Le nème moment est défini par l'espérance de Xn:

m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}

La serie de droite est une représentation de la fonction zeta de Rieman et converge seulement pour les valeurs de s-n supérieures à 1. Ainsi:

m_n =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{pour}~n < s-1 \\
\infty & \textrm{pour}~n \ge s-1
\end{matrix}
\right.

Il faut noter que le rapport est défini, même pour n ≥ s − 1 car la représentation de la fonction zeta de Rieman en série peut être prolongée analytiquement.

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