Distribution Zeta
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Densité de probabilité / Fonction de masse
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Fonction de répartition
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En théorie de probabilité et statistiques, la distribution zêta est une loi discrète de paramètre
.
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi zêta de valeur k si :
![\mathbb{P}(X=k)=k^{-s}/\zeta(s)\,](9/849b70dc124dc4ac62d5f7e2353bd21b.png)
où ζ est la fonction zêta de Riemann non définie en 1.
Le nème moment est défini par l'espérance de Xn:
![m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}](e/0ae6d7367664bfca2d92ae6a3f494b1c.png)
La serie de droite est une représentation de la fonction zeta de Rieman et converge seulement pour les valeurs de s-n supérieures à 1. Ainsi:
![m_n =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{pour}~n < s-1 \\
\infty & \textrm{pour}~n \ge s-1
\end{matrix}
\right.](2/f929a1e252eecd72348dfe8392a5479a.png)
Il faut noter que le rapport est défini, même pour n ≥ s − 1 car la représentation de la fonction zeta de Rieman en série peut être prolongée analytiquement.
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Distribution Zeta de Wikipédia en français (auteurs)
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