Système d'équations linéaires

Système d'équations linéaires

En mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple :

\begin{cases} 2x_1+\frac{3x_2}{2}+x_3=-1 \\ \frac{x_1}{2} + x_2 + 3x_3 = 4 \\2x_1+3x_2+\frac{x_3}{4}=3 \end{cases}

Le problème est de trouver les valeurs des inconnues x1, x2 et x3 qui satisfassent les trois équations simultanément.

La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non-linéaires en analyse numérique. Un moyen efficace de résoudre un système d'équations linéaires est donné par l'élimination de Gauss-Jordan ou par la décomposition de Cholesky ou encore par la décomposition LU. Dans les cas simples, la règle de Cramer peut également être appliquée.

En général, un système de m équations linéaires à n inconnues peut être écrit sous la forme suivante :

\left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+...+a_{m,n}x_n = b_m\end{matrix}\right.

Où x1,...,xn sont les inconnues et les nombres ai,j sont les coefficients du système.

Un système d'équations linéaires peut aussi s'écrire sous la forme matricielle :

Ax = b

avec :

A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}; \qquad x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

L'élimination de Gauss-Jordan, mentionnée ci-dessus, s'applique à tous ces systèmes, même si les coefficients viennent d'un corps arbitraire. Si le corps est infini (comme c'est le cas pour les nombres réels et pour les nombres complexes) alors seulement les trois cas suivants sont possibles pour n'importe quel système donné d'équations linéaires :

  • Le système n'a pas de solution.
  • Le système a un unique n-uplet solution.
  • Le système a une infinité de n-uplets solutions.

Un système de la forme :

Ax=0 \,

est appelé système d'équations linéaires homogènes. Tous les systèmes homogènes admettent au moins une solution :

x_1=0 \ ; \ x_2=0 \ ; \ ... \ ; \ x_n=0

Cette solution est la solution nulle ou triviale. Si un système homogène comporte moins d'équations que d'inconnues alors il admet une infinité de solutions.

Références

Voir aussi

Système d'équations (mathématiques élémentaires)

v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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