Projecteur (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Projecteur et Projection.

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

• c'est une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
• c'est aussi une application linéaire idempotente : elle vérifie p²=p.

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application p qui associe à tout x de E le vecteur x' de F.

Propriétés

• p est linéaire
• Im p = F
• Ker p = G
• p∘p=p

Identification des projecteurs et des projections

Définissons les projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p²=p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve maintenant la réciproque.

Théorème de caractérisation des projecteurs

Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur Im p parallèlement à Ker p. Notamment si p est un projecteur Im p et Ker p sont des sous-espaces supplémentaires.

• Démonstration :

• les deux espaces sont en somme directe : si x est dans leur intersection, x est de la forme p(y) et vérifie 0=p(x)=p²(y)=p(y)=x.
• tout vecteur x de E se décompose, sous la forme (d'ailleurs unique) x = p(x) + [x − p(x)]. Le premier élément est dans Im p, le second dans Ker p.

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q=Id-p, appelé aussi projecteur associé à p.

L'image de q n'est autre que le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.

Projecteurs de même image

Deux applications linéaires p et r sont des projecteurs de même image si et seulement si p∘r=r et r∘p=p.

• Démonstration :

• Si p et r sont des projecteurs de même image alors p∘r=r (car p vaut l'identité sur Im p, or Im p=Im r) et de même, r∘p=p.
• Réciproquement, si p∘r=r et r∘p=p alors p²=p∘(r∘p)=(p∘r)∘p=r∘p=p et Im r=Im p∘r⊂Im p et de même, r²=r et Im p⊂Im r.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel E est somme directe de sous espaces vectoriels si et seulement si pour tout il existe des projecteurs vérifiant : et si .

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s² est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).

• p est un projecteur si et seulement si 2p-Id est une symétrie vectorielle

La recherche des endomorphismes tels que p²=p, ou que s²=Id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u)=0 pour P polynôme et u endomorphisme, voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

• Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée

En choisissant une base de l'espace qui soit la réunion d'une base du noyau et d'une base de l'image (ce qui est possible, car image et noyau sont supplémentaires), on obtient une représentation matricielle vérifiant les propriétés suivantes :

• Sur la diagonale apparaissent uniquement des "1" et des "0", et le nombre de "1" est égal au rang du projecteur ;
• Les autres coefficients sont nuls.

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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