- Projecteur (mathématiques)
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En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :
- c'est une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
- c'est aussi une application linéaire idempotente : elle vérifie p2=p.
Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.
Sommaire
Définition de la projection vectorielle
Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G :
. La projection sur F parallèlement à G est alors l'application p qui associe à tout x de E le vecteur x' de F.
Propriétés
Identification des projecteurs et des projections
Définissons les projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p2=p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve maintenant la réciproque.
Théorème de caractérisation des projecteurs
Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur Im p parallèlement à Ker p. Notamment si p est un projecteur Im p et Ker p sont des sous-espaces supplémentaires.
- Démonstration :
-
- les deux espaces sont en somme directe : si x est dans leur intersection, x est de la forme p(y) et vérifie 0=p(x)=p2(y)=p(y)=x.
- tout vecteur x de E se décompose, sous la forme (d'ailleurs unique) x = p(x) + [x − p(x)]. Le premier élément est dans Im p, le second dans Ker p.
Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.
Projecteur associé à un autre projecteur
La projection sur G parallèlement à F est l'application q=Id-p, appelé aussi projecteur associé à p.
L'image de q n'est autre que le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.
Projecteurs de même image
Deux applications linéaires p et r sont des projecteurs de même image si et seulement si p∘r=r et r∘p=p.
- Démonstration :
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- Si p et r sont des projecteurs de même image alors p∘r=r (car p vaut l'identité sur Im p, or Im p=Im r) et de même, r∘p=p.
- Réciproquement, si p∘r=r et r∘p=p alors p2=p∘(r∘p)=(p∘r)∘p=r∘p=p et Im r=Im p∘r⊂Im p et de même, r2=r et Im p⊂Im r.
Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires
Un espace vectoriel E est somme directe de sous espaces vectoriels
si et seulement si pour tout
il existe des projecteurs
vérifiant :
et
si
.
Symétries
Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s2 est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).
- p est un projecteur si et seulement si 2p-Id est une symétrie vectorielle
La recherche des endomorphismes tels que p2=p, ou que s2=Id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u)=0 pour P polynôme et u endomorphisme, voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.
Projecteurs orthogonaux
- Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si
. On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.
Représentation matricielle en base adaptée
En choisissant une base de l'espace qui soit la réunion d'une base du noyau et d'une base de l'image (ce qui est possible, car image et noyau sont supplémentaires), on obtient une représentation matricielle vérifiant les propriétés suivantes :
- Sur la diagonale apparaissent uniquement des "1" et des "0", et le nombre de "1" est égal au rang du projecteur ;
- Les autres coefficients sont nuls.
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