Idempotent

Idempotent

Idempotence

En mathematiques et en informatique, le concept d' idempotence signifie basiquement qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois, ou encore qu'en la réappliquant on ne modifiera pas le résultat. On la retrouve en algèbre générale, en particulier dans la théorie des opérateurs de projections et des opérateurs de clôture.

Sommaire

Définition

En mathématiques, un élément x d'un anneau A est dit idempotent si x2 = x,

Plus généralement x\, est dit idempotent d'ordre n s'il vérifie l'égalité suivante: xn = x.

En particulier, une application f est idempotente si f{\circ}f=f.

Autrement dit, si f:A\longrightarrow B est idempotente alors si f(a) = b (avec a{\in}A, b\in{B} et B{\subset}A) alors f(f(a)) = b.

Nombres idempotents

En considérant, dans ce paragraphe, l'opération multiplication on a :

Dans \mathbb N , 0 et 1 sont idempotents sur tous les ordres

Dans \mathbb Z , on peut rajouter -1 qui est idempotent pour les ordres impairs

Dans \mathbb C , i et -i sont idempotents d'ordre 5

Endomorphismes idempotents

Un endomorphisme linéaire idempotent est appelé "projecteur".

Si E est un espace vectoriel et u un endomorphisme idempotent d'ordre 2, u est appelé projecteur. On l'interprète géométriquement comme la projection de l'espace image de u sur le noyau de u.

Si E est un espace vectoriel complexe de dimension finie et u un endomorphisme idempotent, alors u est diagonalisable, avec des valeurs propres qui sont toutes racines n-èmes de l'unité.

En Informatique

En informatique, le terme est utilisé pour décrire des fonctions, procédures, méthodes ou routines qui peuvent être appelées plusieurs fois sans problèmes car le système maintient le même état après une ou plusieurs invocations: toutes les variables gardent la valeur qu'elles avaient après la première invocation.

Par exemple: Rechercher le nom d'un client dans une base de données est typiquement idempotent, car cela ne change pas la base de données. Placer une commande n'est pas idempotent, car plusieurs invocations résulteront en plusieurs commandes. Annuler une commande au contraire est idempotent car la commande reste annulée quel que soit le nombre d'invocations.

Voir aussi

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