Matrice de de Casteljau

Matrice de De Casteljau

Les matrices de de Casteljau sont des matrices de Markov triangulaires (ou leurs transposées suivant les conventions) principalement utilisées dans l'algorithme de De Casteljau.

Pour une taille N fixée, il y deux matrices D₀ et D₁ définies par

$[D_0]_{i,j} = \left\{ \begin{matrix} B_i^j(1/2) & si & j<i \\ 0 & sinon &. \end{matrix} \right.$

$[D_1]_{i,j} = \left\{ \begin{matrix} B_i^{N-j}(1/2) & si & j<i \\ 0 & sinon &. \end{matrix} \right.$

où les $B_i^j$ sont les polynômes de Bernstein

Exemple (pour N=4)

$D_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 & 0 \\ 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8 \\ \end{pmatrix}$ et $D_1 = \begin{pmatrix} 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8 \\ 0 & 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Remarque : Il n'est pas nécessaire d'évaluer les polynômes de Bernstein en 1/2 car les matrices resteraient markoviennes (Cf. Propriété des polynômes de Bernstein). N'importe quelle valeur de [0,1] pourrait convenir, mais ce choix augmente la rapidité de l'algorithme en moyenne.

Voir aussi

Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire

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Catégorie : Matrice remarquable

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