Famille génératrice

Famille génératrice
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Cet article court présente un sujet plus développé dans : sous-espace vectoriel engendré.

En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace.

Soit un corps K, et soit E un espace vectoriel sur K. Une famille finie F = ( f_1 , f_2 , \ldots, f_n ) d'éléments de E (vecteurs) est dite génératrice de E si :

\forall x \in E,\ \exists ( \lambda_1 , \lambda _2 , \ldots , \lambda_n ) \in K^n,\ x = \sum_{k=1}^n \lambda_k f_k.

Une famille infinie (f_i)_{i\in I} est dite génératrice si, pour tout vecteur v de E, il existe une famille de scalaires (\lambda_i)_{i\in I} à support fini, telle que v=\sum_{i\in I}\lambda_i f_i. En bref, la famille est génératrice de E si tous les vecteurs de l'espace E s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs de la famille (f_i)_{i\in I}.

Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.

Le sous-espace vectoriel engendré engendré F par une famille (f_i)_{i\in I} est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant tous les vecteurs de la famille. La famille (f_i)_{i\in I} est une famille génératrice de F. On peut noter F= \mathrm{Vect}( f_i )_{i\in I}.

Voir aussi

v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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