Famille generatrice

Famille generatrice

Famille génératrice

En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace.

Définition

Une famille F = ( f_1 , f_2 , \ldots, f_n ) d'éléments d'un K-espace vectoriel E est dite génératrice de E si et seulement si :

\forall x \in E,\ \exists ( \lambda_1 , \lambda _2 , \ldots , \lambda_n ) \in K^n,\ x = \sum_{k=1}^n \lambda_k f_k.

On note alors E = \mathrm{Vect}( f_1 , f_2 , \ldots , f_n ).

En bref, une famille \left(v_1,\ldots,v_n\right) est génératrice de E si tous les vecteurs v de l'espace E s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs v_1,\ldots,v_n.

Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.

Voir aussi

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète Mathématiques
Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau
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