- Drapeau (mathématiques)
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Pour les articles homonymes, voir Drapeau (homonymie).En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel de dimension finie E est une suite finie croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :
Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces Ei forment une suite croissante finie d'entiers
.
Si di=i, alors le drapeau est dit total.
Exemple : si E est l'espace
![\R_n[X]](d/bbdf71fbc7163afedcc40f775beb1c24.png)
des polynômes de degré inférieur ou égal à n, les espaces ![\R_i[X]](d/61dcd12f8f350861e2b3361421fca222.png)
successifs pour i allant de 0 à n constituent un drapeau total de E.Sommaire
Base adaptée à un drapeau
À toute base
de l'espace E de dimension finie est associé un drapeau constitué des espaces successivement engendrés
.
Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs ei ainsi : ei appartient à Ei mais pas à Ei − 1.
Drapeau stable par un endomorphisme
Si u est un endomorphisme de E, alors on dit que le drapeau est stable par u si
.
Par exemple, si on reprend pour E l'espace
et le drapeau formé des espaces ![\R_s[X]](0/ad0d2af37f642db0fd66794a62de2603.png)
successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X+1)), etc...Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux
Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel toujours supposé de dimension n. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes:
- u est trigonalisable.
- Il existe un drapeau total de E stable par u. (ou un drapeau u-stable)
Les drapeaux dans le cadre euclidien
L'espace est de dimension finie et, en outre, muni d'un produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.
Si on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé en base orthonormale.
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