Espace Homogène

Espace Homogène

Espace homogène

En géométrie un espace homogène est un espace sur lequel un groupe agit de façon transitive. Dans l'optique du programme d'Erlangen, le groupe représente des symétries préservant la géométrie de l'espace, et le caractère homogène se manifeste par l'indiscernabilité des points, et exprime une notion d'isotropie. Les éléments de l'espace forment une seule orbite selon G.

On définit le concept d'espace X homogène vis à vis de l'action d'un groupe G dans différentes configurations : lorsque G est un groupes de Lie ou un groupe algébrique et X une variété, lorsque G est un groupe topologique et X un espace topologique.

Exemples

Les espaces des géométries classiques (en dimension finie quelconque) sont des espaces homogènes pour leur groupe de symétries. Voici quelques exemples.

Plus généralement, si E est un espace vectoriel sur un corps K, alors la grassmannienne des sous-espaces vectoriels de dimension donnée de E est un espace homogène pour le groupe linéaire de E et, si de plus K est le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes et si on munit E d'un produit scalaire euclidien, il est un espace homogène pour le groupe orthogonal ou le groupe unitaire de ce produit scalaire.

Les espaces riemanniens symétriques de la géométrie différentielle sont des espaces homogènes pour le groupe de leurs isométries. Cela généralise les espaces euclidiens, les sphères euclidiennes, les espaces elliptiques et les espaces hyperboliques, de même que les grassmanniennes réelles et complexes pour les groupes orthogonaux ou unitaires. Plus généralement, il y a les espaces symétriques (non nécessairement riemanniens) qui sont des espaces homogènes pour leurs groupe des déplacements.

Il y a aussi, aussi bien en géométrie algébrique qu'en géométrie différentielle, les variétés de drapeaux (généralisées), qui sont par définition des espaces homogènes de groupes algébriques ou de groupes de Lie. Les variétés de drapeaux comprennent à la fois les grassmanniennes d'indice donné et les variétés de drapeaux de type donné des espaces vectoriels sur un corps commutatif, les quadriques projectives propres, les grassmanniennes de sous-espaces vectoriels totalement isotropes de dimension données pour les formes quadratiques ou les formes bilinéaires alternées ou les formes sesquilinéaires hermitiennes complexes, non dégénérées dans tous les cas.

Pour les variétés de drapeaux de la géométrie différentielle, le groupes pour lesquelles elles sont des variétés de drapeaux est un groupe de Lie non compact, mais dans certains cas, il y a un sous-groupe compact de groupe de Lie pour lequelle elle est un espace riemannien symétrique. Par exemple, l'espace projectif d'un espace vectoriel euclidien E, est une variété de drapeaux pour le groupe projectif (spécial) de E alors qu'il est un espace symétrique pour le groupe spécial orthogonal de E (ou son image dans le groupe projectif de E).

En géométrie différentielle, parmi les espaces homogènes les plus importants, on retrouve les espaces symétriques et les variétés de drapeaux.

Voir aussi

Références

  • Marcel Berger, Géométrie, Nathan, 1990, ISBN 209-191-730-3.
  • Jürgen Berndt, Lie Group Actions on Manifolds, sur Internet.
  • Guy Laville, Géométrie pour le CAPES et l'agréation, Ellipses, 1998, ISBN 2-7298-7842-4.
  • Simon Gindkin, Classical Groups and Classical Homogeneous Manifolds, sur Internet.
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