Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique

• Le quotient d'un anneau unitaire d'entiers quadratiques par un idéal non nul est fini :

Soit A un anneau unitaire d'entiers quadratiques non réduit à Z. Alors A est égal à Z[ω] pour un certain élément ω de A, racine d'un polynôme de la forme X² + pX + q avec p et q entiers. A est donc isomorphe à l'anneau quotient Z[X]/(X²+pX+q).

Soient I un idéal non nul de A, α un élément non nul de I, et C sa norme. Alors C est un multiple de α (par son conjugué), donc c'est un élément de I, si bien que I contient CA. Ainsi, A/I est (isomorphe à) un quotient de A/CA. D'autre part, comme C est un entier non nul, la suite d'isomorphismes

montre que A/CA est fini (il a exactement C² éléments), donc A/I aussi^[3].

• Tout idéal premier non nul d'un anneau d'entiers quadratiques est maximal :

Soit I un idéal premier non nul de cet anneau A. L'anneau A/I est un anneau intègre fini donc un corps, si bien que I est un idéal maximal.

• Un anneau unitaire d'entiers quadratiques est noethérien :

L'anneau est noté Z[ω]. Soit M_j une suite d'idéaux de Z[ω] croissant pour l'inclusion. M_j+1 contient M_j, ce qui indique que Z[ω]/M_j+1 contient moins de classe d'équivalences que Z[ω]/M_j. S'il contiennent exactement le même nombre de classes d'équivalence, cela signifie que M_j et M_j+1 sont égaux. Or le paragraphe précédent montre que le nombre de classes d'équivalence d'un quotient par un idéal non nul est fini. Ce nombre de classes ne peut décroître qu'un nombre fini de fois, ce qui signifie, à partir d'un certain rang, que la suite est stationnaire.

• Tout idéal M forme un Z-module munis d'une base à deux éléments :

La démonstration du fait qu'une suite croissante d'idéaux est stationnaire au bout d'un certain rang s'applique aussi aux sous-module engendrés par deux éléments. Soit (α₁, β₁) un couple de vecteurs libres de M il suffit de montrer que si ce couple ne génère pas M alors il existe un autre couple (α₂, β₂) d'éléments de M engendrant α₁ et β₁ tel que α₂ n'est pas engendré par la famille (α₁, β₁). La nouvelle famille contient strictement le module engendré par (α₁, β₁). Si elle n'est pas égale à M alors le processus est réitéré. On obtient une suite strictement croissante de sous-groupes. Au bout d'un nombre d'étapes fini n, la suite devient stationnaire, ce qui signifie que le groupe engendré par (α_n, β_n) est égal à M.

Si (α₁, β₁) n'engendre pas M alors il existe un vecteur γ₂ de M qui n'est pas engendré par (α₁, β₁). Comme Z[ω] contient une base (1, ω), γ₂ est une combinaison linéaire de cette base. Soit δ₂ un vecteur colinéaire à γ₂ dont les coefficients dans la base (1, ω) sont choisis premiers entre eux, tout élément de Z[ω] colinéaire à γ₂ s'exprime comme un multiple à coefficients entiers de δ₂. Soit k le plus petit entier relatif strictement positif tel que k.δ₂ soit élément de M. Comme γ₂ n'est pas engendré par le couple (α₁, β₁), k.δ₂ n'est pas non plus engendré par le couple.

Notons α₂ le vecteur k.δ₂. Le couple (α₁, β₁) est une base de Q[ω] et α₂ s'exprime comme une combinaison linéaire à coefficients rationnels du couple. En multipliant par les dénominateurs, on obtient une combinaison linéaire du couple à coefficients dans les entiers relatifs égal à un multiple de α₂. Si p₂ est le plus grand commun diviseur des coefficients, alors il existe trois entiers relatifs a₂, b₂ et f₂ tel que :

Quitte à diviser p₂ et f₂ par leur plus grand diviseur commun, il est possible de les choisir premiers entre eux. Le terme de gauche est colinéaire à δ₂, il est donc multiple de ce vecteur, le multiple contient p₂ comme facteur. Par ailleurs, ce multiple est égal à f₂.k. Comme p₂ et f₂ sont premiers entre eux, p₂ divise k et il existe un entier q₂ tel que k est égal à p₂.q₂. En divisant par p₂ l'égalité précédente, on obtient :

Le vecteur f₂.q₂.δ₂ est une combinaison linéaire à coefficients entiers du couple (α₁, β₁), c'est donc un élément de M. Soit r le reste de la division euclidienne de f₂.q₂ par k, r.δ₂ est un élément de M car différence de deux éléments de M. Comme r est strictement plus petit en valeur absolue que k, la définition de k montre que r est nul. On en déduit que f₂.q₂ est un multiple de k. Ainsi il existe un entier k₂ tel que :

Par construction a₂ et b₂ sont premiers entre eux, l'identité de Bézout montre l'existence de deux entiers relatifs c₂ et d₂ tel que a₂d₂ - b₂c₂ = 1. Soit β₂ défini par β₂ = c₂.α₁ + d₂.β₁, β₂ est généré par le couple (α₁, β₁), il est donc élément de M. La matrice suivante est inversible dans l'anneau des entiers relatifs car elle est de déterminant égal à 1 :

On en déduit que α₂ et β₂ engendrent le couple de vecteurs précédent, ce qui termine la démonstration.

Un premier lemme est utile

• Soit δ un élément de Q[√d] et M un idéal non nul de l'anneau des entiers quadratiques. Le nombre δ est un entier quadratique si et seulement si le produit de δ par un élément de M est toujours un entier quadratique :

Si δ est un entier quadratique, alors par définition d'un idéal, le produit de δ et d'un élément de M est un élément de M et donc un entier quadratique.

Supposons que la multiplication de δ par tout élément de M soit un entier quadratique et montrons que δ est un entier quadratique. Les résultats précédents montrent que M est aussi un Z-module qui admet une base B composée de deux éléments de M. Soit Φ la matrice de l'application linéaire de M dans M, qui à x associe δ.x. C'est une matrice carrée 2x2 à coefficients dans Z. De plus, si μ est un élément non nul de M de matrice colonne M_μ, alors Φ.M_μ est la matrice colonne du nombre δ.μ et Φ².M_μ est la matrice colonne du nombre δ².μ.

La matrice Φ, comme toute matrice carrée réelle, admet un polynôme caractéristique P(X) qui annule Φ, d'après le théorème de Cayley-Hamilton. Le paragraphe précédent permet de déduire que P(δ).μ est égal à 0. Comme μ n'est pas nul, P(δ) l'est. Or la matrice Φ est à coefficients dans Z, ce qui montre que P(X) est à coefficients dans Z. Le fait que δ soit la racine d'un polynôme de degré 2, de monôme dominant de coefficient égal à 1 et à coefficients dans Z, montre que δ est un entier quadratique, ce qui termine la démonstration.

Un deuxième lemme s'avère nécessaire :

• Soit M un idéal premier et non principal de Z[ω]. Il existe deux entiers relatifs a et b tel que M est composé des combinaisons linéaires à coefficients dans Z des entiers a et b + ω :

Les résultats précédents montrent que M est l'ensemble des combinaisons linaires de α et β, où α et β désignent deux entiers quadratiques bien choisis. Soit a₁ et c₁ les coordonnées de α et b₁ et e₁ celles de β. Montrons dans un premier temps que c₁ et e₁ sont premiers entre eux. Soit k un diviseur commun à c₁ et e₁ strictement positif, tout élément de M possède, en conséquence, une deuxième coordonnée multiple de k. Tel est le cas en particulier de α.ω. Un rapide calcul montre que a₁ est aussi multiple de k et un raisonnement analogue montre que b₁ est aussi un multiple de k. L'entier naturel k est un diviseur de α et β, donc de tout élément de M. Or les hypothèses montrent que le seul entier relatif qui divise tous les éléments de M est 1.

Montrons que e₁ peut être choisi égal à 1. Le fait que c₁ et e₁ soient premiers entre eux montre l'existence de deux entiers relatifs f et g tels que f.c₁ - g.e₁ soit égal à 1. Par ailleurs, une autre manière de définir M est de considérer cet ensemble comme l'ensemble des combinaisons linéaires dont les coefficients, dans la base (1, ω), sont les images du produit de la matrice suivante par une matrice colonne à deux coefficients choisis dans Z :

Multiplier cette matrice par une matrice à coefficients dans Z et représentant une bijection des matrices colonnes à deux coefficients dans Z, ne modifie pas l'ensemble d'arrivé. La formule de la comatrice montre que si le déterminant d'une matrice 2x2 à coefficients dans Z est égal à ±1, elle représente une des bijections recherchée. On en déduit que la matrice suivante possède comme image de Z² l'ensemble des coordonnées des éléments de M dans la base (1, ω).

On en déduit que M est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans Z des nombres α₂ et β₂, où α₂ est égal à a₂ + c₂.ω et β₂ à b + ω, les coefficients étant définis par les égalités matricielles :

Il reste encore à annuler le deuxième coefficient de la matrice. Pour cela, on utilise la même technique avec la matrice multiplicative suivante, de déterminant égal à 1 :

Si a est égal à a₂ - b.c₂, la proposition énoncée est bien démontrée.

• Un idéal premier M admet un inverse dans l'ensemble des idéaux fractionnaires, munis de la multiplication :

Soit F l'ensemble défini par :

Il est clair que F est un idéal fractionnaire et que F.M est inclus dans Z[ω]. De plus, F.M est un idéal contenant M car F contient 1. Les seuls idéaux contenant M sont M et Z[ω], car M est un idéal premier, donc maximal. La proposition précédente montre qu'il suffit de trouver un élément de F qui ne soit pas dans Z[ω] pour montrer que M.F contient strictement M. Soit (α, β) une base de M en tant que Z-module.

Il est possible que α et β aient un diviseur commun qui ne soit pas une unité. Si ω est égal i.√5, α peut être égal à 3 et β à 3.ω. Soit γ ce diviseur commun, 3 dans l'exemple, alors γ^-1, 1/3 dans l'exemple, est un élément de F qui n'est pas un entier quadratique. Cette configuration correspond au cas où l'idéal M est principal.

Il est aussi possible que α et β n'aient pas de diviseur commun autre que les éléments inversibles. Tel est le cas si α = 2 et β = 1 + i.√5. Soient a et b les éléments de Z tel que α = a et β = b + .ω. Le deuxième lemme montre qu'un tel choix est toujours possible. Dans l'exemple a = 2, b = 1. Le nombre ω.β est un élément de M car ω est élément de Z[ω] et β de M, ce qui montre l'existence de f et g élément de Z tel que : ω.β = f.α + g.β. Ce qui s'écrit :

La fraction δ/a semble être un bon candidat pour être le nombre quadratique non entier recherché. Multiplié par a, il est égal à δ un élément de Z[ω] et multiplié par β il est égal à f un élément Z. Le produit de ce nombre par un élément quelconque de M est donc bien un élément de Z[ω]. Il reste encore à montrer que ce nombre n'est pas un élément de Z[ω], c'est-à-dire que f n'est pas un multiple de β. On remarque que la seule valeur possible de g pour que l'égalité précédente soit dans Z est b. La valeur f est un multiple de β uniquement si f est un multiple de β.β_c où β_c désigne le conjugué de β. Dans ce cas, a est égal à ±1 et un élément inversible est dans M, ce qui indique que M est égal à Z[ω], ce qui n'est pas possible car M est un idéal premier.

Que M soit un idéal principal ou non, il existe un nombre quadratique de F qui n'est pas élément de Z[ω]. Le premier lemme montre que F.M ne peut être égal à M et est donc égal à Z[ω], ce qui termine la démonstration.

• Tout idéal M non nul et différent de Z[ω] est égal à un produit P₁...P_n d'idéaux premiers :

Si un idéal non nul et différent de Z[ω] n'est pas maximal, il est strictement inclus dans un idéal plus vaste, différent de Z[ω]. Il est ainsi possible de construire une suite strictement croissante d'idéaux différents de Z[ω]. Comme l'anneau Z[ω] est noéthérien, cette suite est finie. Le dernier élément de la suite est un idéal maximal. Ainsi, tout idéal est inclus dans un idéal maximal.

L'idéal M est inclus dans un idéal premier (tout idéal premier est ici maximal) P₁. L'ensemble P₁^-1.M est un idéal contenant strictement M. Il existe un effet un élément δ de P₁^-1 qui n'est pas un entier quadratique. Le premier lemme montre que δ.M n'est pas inclus dans M et :

On construit de même un idéal P₂ contenant P₁^-1.M et P₂^-1.P₁^-1.M est un idéal contenant strictement le précédent. On définit ainsi une suite strictement croissante d'idéaux, nécessairement finie car Z[ω] est noethérien. On en déduit qu'il existe un entier positif n tel que P_n^-1...P₂^-1.P₁^-1.M est égal à Z[ω]. En multipliant cette égalité par P₁...P_n on obtient l'égalité qui termine la démonstration :

• L'ensemble des idéaux fractionnaires non nul munis de la multiplication forme un groupe commutatif:

La multiplication dans l'ensemble des idéaux fractionnaires non nuls possède un élément neutre Z[ω] et est associative et commutative. Il reste à montrer que tout élément possède un symétrique.

Soit F un idéal fractionnaire non nul. Par définition, il existe un entier quadratique α tel que α.F est un idéal de Z[ω]. La démonstration précédente permet de déduire qu'il existe un entier naturel m et une suite finie P₁, ..., P_m d'idéaux premiers tel que α.F est égal au produit des idéaux P₁, ..., P_m. Le même résultat montre qu'il existe un entier naturel n et une suite d'idéaux premiers Q₁, ..., Q_n tel que α.Z[ω] soit égal au produit des idéaux Q₁, ..., Q_n. En remarquant que α.F est égal au produit d'idéaux fractionnaires α.Z[ω] et F on déduit :

On en déduit une expression de F ainsi que de son symétrique :

• Tout idéal non nul de Z[ω] se décompose de manière unique, à l'ordre près, en un produit d'idéaux premiers :

L'existence d'une décomposition est déjà démontrée. Il ne reste plus qu'à montrer l'unicité. Cette démonstration utilise le fait que si un idéal premier contient un produit d'idéaux, il contient au moins l'un des idéaux du produit (cf Idéal premier). Soit M un idéal et n un entier tel qu'il existe une décomposition en n idéaux premiers. Montrons par récurrence sur n que la décomposition est unique.

Si n est égal à 1. M est un idéal premier et s'il existe une décomposition de M en produit d'idéaux premiers Q₁. ... .Q_m, alors l'un de ces idéaux est contenu dans M. Supposons, quitte à réindexer, que ce soit Q_m. Comme Q_m est maximal, il est égal à M qui est premier donc maximal. En multipliant l'égalité M = Q₁. ... .Q_m par M^-1, on remarque que le produit Q₁. ... .Q_m-1 est égal à l'anneau tout entier, ce qui n'est possible que si m est égal à 1.

Supposons la propriété démontrée à l'ordre n - 1 et montrons là à l'ordre n. On suppose qu'il existe deux décompositions de M en produits d'idéaux premiers P₁. ... .P_n et Q₁. ... .Q_m. L'idéal P_n contient le produit Q₁. ... .Q_m. Le même raisonnement que le précédent montre qu'il existe un idéal du produit égal à P_n. Quitte à réindexer, supposons que ce soit Q_m. En multipliant les deux décompositions de M par P_n^-1, on obtient l'égalité entre les produits P₁. ... .P_n-1 et Q₁. ... .Q_m-1. L'hypothèse de récurrence permet de conclure.

Soit α un entier algébrique de l'anneau Z[ω], V_α désigne l'aire de la surface de Q[ω], composée des points de coordonnées élément [0, 1[ dans la base (1, ω) et M l'idéal principal de Z[ω] et engendré par α.

• Chaque classe de l'idéal quotient Z[ω] / M contient un unique représentant dans V_α :

Soit C une classe de Z[ω] / M et β un élément de Z[ω] représentant de la classe C. La famille (α , α.ω) est une base de Q[ω] considéré comme un Q espace vectoriel, il est donc possible d'y exprimer β comme une combinaison linéaire : q₁.α  + q₂.α.ω où q₁ et q₂ sont deux nombres rationnels. Notons e_i la partie entière de p_i et f_i sa partie fractionnaire, ici i désigne un indice variant de 1 à 2. On peut encore écrire β comme la somme de e₁.α  + e₂.α.ω et de f₁.α  + f₂.α.ω. Le premier terme de la somme est à coefficients entiers, il correspond à un élément de l'idéal M, égal à α(e₁ + e₂.ω). Le deuxième terme possède des coefficients compris dans l'intervalle [0, 1[. Ce deuxième terme est la différence d'un élément de Z[ω] et d'un élément de M, il est donc élément de Z[ω]. Ce deuxième élément est bien un représentant de C choisi dans V_α, ce qui montre que toute classe possède bien un représentant dans l'intersection de V_α et de Z[ω].

Montrons que ce représentant est unique. Un élément β de Z[ω] est élément de M si, et seulement si, il est multiple dans Z[ω] de α, autrement dit si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs a et b tel que α(a + b.ω) est égal à cet élément. Ce qui revient à dire que l'expression de β en tant qu'élément de Q[ω] dans la base (α , α.ω) possède des coordonnées entières. Soit δ₁ et δ₂ deux éléments de Z[ω] et de V_α faisant partie d'une même classe C de Z[ω] / M. La différence entre δ₁ et δ₂ possède des coordonnées entières dans la base (α , α.ω). Or δ₁ et δ₂ ne possèdent que des coordonnées comprises entre 0 et 1 (exclus). La différence de telles coordonnées ne peut être entière que si elle est nulle, ce qui montre que δ₁ et δ₂ sont égaux et termine la démonstration.

Soit α un entier quadratique de l'anneau Z[ω], V_α l'aire de Q[ω] composée des points de coordonnées dans la base (1, ω) à valeurs dans [0, 1[ et M l'idéal principal de Z[ω] et engendré par α.

• Chaque classe de l'idéal quotient Z[ω] / M contient un unique représentant dans V_α :

Soit C une classe de Z[ω] / M et β élément de Z[ω] représentant de la classe C. La famille (α , α.ω) est une base de Q[ω] considéré comme un Q espace vectoriel, il est donc possible d'y exprimer β qui est égal à q₁.α  + q₂.α.ω où q₁ et q₂ sont deux nombres rationnels. Notons e_i la partie entière de p_i et f_i sa partie fractionnaire, ici i désigne un indice variant de 1 à 2. On peut encore écrire β comme la somme de e₁.α  + e₂.α.ω et de f₁.α  + f₂.α.ω. Le premier terme de la somme est à coefficients entiers, il correspond donc à un élément de l'idéal M, égal à α(e₁ + e₂.ω). Le deuxième terme possède des coefficients compris dans l'intervalle [0, 1[. Ce deuxième terme est la différence d'un élément de Z[ω] et d'un élément de M, il est donc élément de Z[ω]. Ce deuxième élément est bien un représentant de C choisi dans V_α, ce qui montre que toute classe possède bien un représentant dans l'intersection de V_α et de Z[ω].

Montrons que ce représentant est unique. Un élément β de Z[ω] est élément de M si, et seulement, s'il est multiple dans Z[ω] de α, autrement dit si, et seulement s'il existe deux entiers relatifs a et b tel que α(a + b.ω) est égal à cet élément. Ce qui revient à dire que l'expression de β en tant qu'élément de Q[ω] dans la base (α , α.ω) possède des coordonnées entières. Soit δ₁ et δ₂ deux éléments de Z[ω] et de V_α faisant partie d'une même classe C de Z[ω] / M. La différence entre δ₁ et δ₂ possède des coordonnées entières dans la base (α , α.ω). Or δ₁ et δ₂ ne possèdent que des coordonnées comprises entre 0 et 1 (exclus). La différence de telles coordonnées ne peut être entière que si elle est nulle, ce qui montre que δ₁ et δ₂ sont égaux et termine la démonstration.

• L'aire S_α de la surface de V_α est égale au nombre de points de Z[ω] que V_α contient :

Sur l'exemple illustratif, l'aire de la surface rouge est égale à 5, comme le nombre de points rouges que V_α (le carré en rouge) contient. La figure en bas à gauche illustre une autre configuration. Chaque point de Z[ω] est au centre d'un carré de côté 1. Ces carrés définissent une surface d'aire exactement égale au nombre de points de l'intersection de Z[ω] et de V_α. Elle est illustrée en jaune sur la figure. La proposition à démontrer indique que cet aire est égale à celle de la surface délimitée par le parallélogramme dont le contour est illustré en noir sur la figure.

Deux mesures différentes d'une même surface, par les points du réseau ou par le déterminant

Si un grand parallélogramme est construit par l'union de n² parallélogrammes de même type que celui de gauche, le rapport entre la zone d'incertitude et la surface du parallélogramme décroit d'un facteur 1/n.

Ce qui est sur, c'est que si l'on retire une bande de largeur 1 à la frontière du parallélogramme, on obtient une surface strictement incluse dans celle définie par les carrés centrés sur les points de Z[ω], ce qui permet d'obtenir une minoration. Cette surface est illustrée en vert sur la figure. De la même manière, si l'on ajoute une bande de largeur 1 à la frontière du parallélogramme, on obtient une surface contenant strictement celle définie par les carrés. Cette surface est illustrée en bleu clair sur la figure, elle offre une majoration de la surface orange. Cette propriété est due au fait que chaque point de l'intersection de Z[ω] et de V_α est le centre d'un carré orange. Si ce centre est à une distance supérieure à 1 de la frontière, alors le carré est intégralement dans V_α. Réciproquement un point de Z[ω] et de V_α est toujours à une distance strictement supérieure à 1 de la frontière de V_α adjointe d'une bande de largeur 1.

Soit d₁ la norme géométrique du vecteur α, d₂ celle du vecteur α.ω et θ l'angle entre les deux vecteurs α et α.ω, mesuré positivement. Alors S_α est égal à sin(θ).d₁.d₂. On obtient les majorations :

L'approximation n'est pas nécessairement très précise. Considérons maintenant La surface constituée de n² parallélogrammes correspondant aux translatés de V_α par les vecteurs i.α + j.α.ω ou i et j varie de 0 à n - 1. Cette situation est illustrée à droite, pour n égal à 4. On a construit un nouveau parallélogramme, semblable au précédent, mais de surface multipliée par n² (16 sur l'illustration). La démonstration précédente montre que chaque translaté de V_α contient exactement N points de Z[ω]. Ce qui se traduit graphiquement par le fait que les différentes surfaces jaunes s'emboîte parfaitement. Le nombre de points de Z[ω] dans le grand parallélogramme est maintenant égal à n².N. Si l'aire de la surface a été multipliée par n², celle de la frontière n'a été multipliée que par n. Le rapport entre la zone frontière, génératrice d'imprécision et la surface est multiplié par 1/n. Ce qui graphiquement s'illustre par le fait que la zone bleue est devenu sur la figure proportionnellement 4 fois plus petite par rapport à la surface du parallélogramme. L'approximation est n fois meilleure. Les nouvelles majorations deviennent :

En divisant par n² et en remarquant que sin(θ).d₁.d₂ est égal à S_α, on obtient :

Si n est choisi suffisamment grand, les termes additionnés et soustraits à S_α deviennent strictement plus petits que l'unité. Comme S_α et N_α sont des entiers, ils sont égaux.

• La norme de α est, en valeur absolue, égale au cardinal de l'anneau Z[ω] quotienté par l'idéal engendré par α :

Il suffit de remarquer que la norme de α est égale au déterminant de l'application associée et à la surface S_α en valeur absolue.

• La norme du produit de deux idéaux est égale au produit des normes des idéaux :

Une démonstration précise est proposée dans l'article détaillé. Elle utilise le fait qu'il suffit de démontrer cette proposition dans le cas où l'un des idéaux est premier et se fonde sur le morphisme canonique de groupe de Z[ω] / J₁.J₂ dans Z[ω] / J₁. Ici J₁ désigne un idéal et J₂ un idéal premier. Le noyau de ce morphisme est égal à J₁ / J₁.J₂, qui peut être vu comme un Z[ω] / J₂ espace vectoriel de dimension 1.

• Le discriminant de Z[u] est égal à d si d est congru à 1 modulo 4 :

Soit x et y deux éléments de Z[ω] et a, b, c, e quatre entiers relatifs tel que : x = a + b.ω et y = c + d.ω. Si Μ_x, Μ_y, Μ_xy et T désignent les matrices de φ_x, φ_y, φ_xy et de la forme trace dans la base (1, ω) on obtient :

On en déduit la forme trace notée ici Tr <.,.> :

Ce qui offre une expression matricielle T de la forme trace :

• Le discriminant de Z[u] est égal à 4d si d n'est pas congru à 1 modulo 4 :

Avec les notations de la démonstration précédente, on obtient :

On en déduit la forme :

Ce qui offre une expression matricielle T de la forme trace :

• Le discriminant d'un idéal M est égal à N(M)².disc(Z[u]).

La démonstration générale est relativement facile, elle proposée dans l'article détaillé.

• Cas où d > 0 :

Le cas illustré est celui où d est égal à 17

La démonstration étant essentiellement visuelle, elle est illustrée par le graphique de droite. On a choisi d égal à 17. Une fois encore, l'anneau est représenté par un réseau de R². L'application ϕ qui, à l'anneau Z[ω] associe un réseau est celle qui à l'élément α associe φ(α) = (α, α_c), c'est-à-dire le couple formé par α et son conjugué. Le conjugué d'un nombre quadratique a + b√d est le nombre quadratique a - b√d. Une base du réseau est donnée par les deux couples (1,1) et (ω, ω_c). Le volume fondamental V du réseau est égal au déterminant de la matrice M suivante :

Dans tous les cas, V, le volume fondamental est égal à racine carrée du déterminant. Sur la figure, d égal à 17 est congru à 1 modulo 4, le volume fondamental est celui du parallélogramme illustré en bleu, il est à peine supérieur à 4. Le réseau est illustré par les points, en général en gris. Les intersections du quadrillage bleu correspond aux points de R² à coordonnées entières.

On considère un idéal J, l'image par φ de l'idéal correspond à un réseau inclus dans le précédent, a priori à maillage plus large. Dans l'exemple, J est l'idéal composé des multiples de 2. Une fois encore, un rapide calcul montre que la racine carrée de son discriminant est égale à son volume fondamental, ou encore à sa norme que multiplie la racine carrée du discriminant de l'anneau. Sur la figure, le volume fondamental de l'idéal correspond au parallélogramme rouge de surface égale à 4 fois celle du parallélogramme associé au parallélogramme du volume fondamental de l'anneau soit approximativement 16,49. Les points rouges sont ceux correspondant à l'idéal.

Le théorème de Minkowski indique que tout convexe borné, symétrique par rapport à l'origine et de surface quadruple de celle du volume fondamental d'un réseau contient au moins deux points non nuls du réseau. Pour construire un tel convexe, on munis R² de la norme ||.|| qui associe à un point (x, y) la valeur |x| + |y|. La boule de rayon r, si r désigne un nombre réel, est de surface égale à 2.r². Pour être certain que la boule de centre 0 et de rayon r contient au moins un point du réseau de l'idéal J, il faut choisir r tel que :

Dans l'exemple de droite, la surface de la boule doit être au moins égale à 65,97 et le rayon r à 5,74. Dans l'exemple cette boule est illustrée en vert, elle contient bien deux points du réseau de J correspondant à 2 et -2. Soit π un point non nul, correspondant au réseau de J et inclus dans la boule de centre 0 et de rayon r. Sa norme géométrique, égale à |π| + |π_c| est inférieure à r. L'égalité suivante permet d'obtenir une majoration de la norme arithmétique de π en fonction de la norme géométrique de φ(π).

On en déduit l'existence d'un élément π de J dont la norme arithmétique vérifie la majoration :

Dans l'exemple choisi, cela montre l'existence d'un élément de J de norme arithmétique inférieure à 2,88.

Soit P l'idéal engendré par π. P est un idéal contenu dans J donc J ^-1.P est un idéal, noté ici K. On en déduit que K est un idéal dans la même classe d'idéal fractionnaire que J ^-1 car P est un idéal principal. En divisant J^-1 par le plus grand idéal principal trouvé, on trouve un idéal K, peut-être non principal, de norme la plus petite possible, ce qui est le but recherché. Comme la norme de P est égale à la valeur absolue de celle de π et que l'on possède une majoration de la norme arithmétique de π, on obtient une majoration de la norme de K :

• Fin du traitement de l'exemple, si d = 17 :

Dans l'exemple choisi, la racine carrée du discriminant de l'anneau est égale à √17, soit moins de 4,2. La seule norme possible pour un idéal premier non principal est 2. Les résultats précédents montrent que les coordonnées de tels idéaux, s'il existent, sont les produits d'une matrice M_b par un vecteur colonne à deux éléments choisis dans Z :

Un tel idéal contient nécessairement le nombre 2, il intervient donc dans la décomposition de l'idéal principal des multiples de 2. Or l'idéal principal engendré à 1 + ω est de norme 2 et contient donc 2. On remarque que l'idéal engendré par le conjugué, égal à 2 - ω est le deuxième idéal premier intervenant dans la décomposition de l'idéal des multiples de 2. Ces deux idéaux sont de norme égale à 2, ils sont nécessairement premiers car un idéal diviseur possède une norme qui divise 2. Il n'existe donc pas d'idéal non principal de norme 2 et l'anneau est principal.

• Cas où d < 0 :

Le cas illustré est celui où d est égal à -17.

Le raisonnement est exactement le même que le précédent, même si la représentation ainsi que la distance sont modifiées. Ici, l'application ϕ est celle qui au point α associe le couple composé de sa partie réelle et de sa partie imaginaire. Le volume fondamental du réseau associé à l'anneau est maintenant égal à la moitié de la racine carrée de la valeur absolue du discriminant. Dans l'exemple, d est égal à -17 et ω à i.√17, le volume fondamental du réseau est égal à √17 et le discriminant à 68. L'idéal J, toujours choisi dans l'exemple, comme l'ensemble des multiples de 2, est associé à un réseau de volume fondamental encore égal à 4 fois le précédent, toujours illustré en rouge sur la figure. Son volume fondamental est approximativement égal à 16,49.

On choisit comme norme géométrique, celle associée à la distance euclidienne. Encore une fois, le théorème de Minkowski indique que la surface de la boule centrée en 0 doit être égale à 4 fois la surface du volume fondamental associé à l'idéal pour assurer l'existence d'un point non nul dans la boule élément de l'idéal. On obtient les égalités, si r désigne le rayon de la boule :

Le carré de la norme géométrique choisie est égal à la norme arithmétique, ce qui garantit l'existence d'un idéal P principal non nul, contenu dans J et de norme vérifiant la majoration :

Dans l'exemple choisi, r est approximativement égal à 4,58 et un point de l'idéal est par exemple 4. Le calcul précédent montre l'existence d'un idéal K dont la norme vérifie la majoration suivante :

• Fin du traitement de l'exemple, si d = -17 :

Il faut maintenant rechercher des idéaux premiers non principaux de norme inférieure ou égale à 5, valeur donnée par la majoration précédente.

Si la norme de l'idéal est égal à 2, une valeur possible de b est 1, on remarque que la norme de β, si β = b + i.√17 est égal à 18, un multiple de 2. Les notations utilisées sont celles du paragraphe Idéal fractionnaire. L'ensemble des combinaisons linéaires de 2 et 1 + i.√17, à coefficients dans Z, forme un idéal, d'après les résultats du paragraphe Idéal fractionnaire. Il n'est pas principal car 1 + i.√17 n'est pas un multiple de 2 et 2 de norme égal à 4 ne peut être un multiple de 1 + i.√17, car sa norme est égale à 18. On remarque que le carré de cet idéal est égal à celui engendré par 2 et il n'existe pas d'autres idéaux de norme égale à 2. Cet idéal est nécessairement premier car sa norme est un nombre premier. On note cet idéal J₂.

Le même raisonnement s'applique encore si la norme de l'idéal est égal à 3. Une fois encore, l'ensemble des combinaisons linéaires de 3 et 1 + i.√17 est un idéal premier non principal. Le deuxième idéal de norme égal à 3 est formé par les combinaisons linéaires de 3 et -1 + i.√17. Il est encore premier et non principal, mais n'est pas confondu avec le précédent. Ces idéaux sont notés J₃ et J_3c. On peut remarquer que J_3c est l'image par l'application conjuguée de J₃.

La norme de l'idéal ne peut être égale à 4 si l'on cherche un idéal non principal premier. En effet, même si l'on trouve un entier quadratique β dont la norme est un multiple de 4, l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans Z de 4 et β est bien un idéal, mais il est strictement contenu dans l'idéal des combinaisons linéaires de 2 et β et n'est pas premier.

Si la norme est égale à 5, il n'existe aucune valeur de b tel que la norme de b + i.√17 soit un multiple de 5. En effet, cette norme est égale à b² + 17 et un carré n'est jamais congru à 3 modulo 5. Ce qui montre qu'il n'existe pas d'idéal premier et non principal de norme égale à 5. Un petit travail supplémentaire montre qu'il n'existe pas d'idéal de norme égale à 5.

Le groupe des classes contient 4 éléments : l'élément neutre composé des idéaux principaux, la classe de l'idéal J₂, dont le carré est égal à 1, J₃, qui possède pour inverse J_3c. Il n'existe que deux groupes à 4 éléments, le groupe cyclique et celui de Klein. Dans le groupe de Klein, chaque élément est son propre inverse, ce qui n'est pas le cas ici. Le groupe des classes est donc cyclique. On vérifie de fait la table suivante, qui s'obtient grâce aux égalités :

. J3 J2 J3c J3 J2 J3c J3 J3 J2 J2 J3c J3c