Partie entière

Partie entière

Partie entière et partie fractionnaire

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Représentation graphique de la fonction « partie entière »

En mathématiques et en informatique, la partie entière (si non précisé : par défaut) d'un nombre réel est l'entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal. Pour un nombre réel x, elle se note usuellement E(x), où la lettre E désigne la fonction partie entière (par défaut).

La notation [x] est aussi utilisée mais a tendance à être remplacée par la notation anglo-saxonne qui utilise des symboles similaires pour la partie entière par défaut (floor, « plancher ») et la partie entière par excès (ceiling, « plafond ») :

\lfloor x \rfloor \le x \le \lceil x \rceil.

La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité d'un nombre, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs. Par exemple, la partie entière de − 1,5 vaut − 2, tandis que sa troncature à l'unité vaut − 1.

La différence entre un nombre x et sa partie entière par défaut est appelée partie fractionnaire et se note \{x\} \,.

Sommaire

Propriétés générales

La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif strictement inférieur à 1.

Tout réel x vérifie les propriétés suivantes :

  • x = \lfloor x \rfloor + \{x\} ;
  • \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si }x\in \Z \\ -1 & \text{sinon ;}\end{array}\right.

et pour tout entier n strictement positif :

\sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)}{2}.

Fonction partie entière

La fonction partie entière n’est pas continue sur les valeurs entières, mais est semi-continue à droite et supérieurement.

Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac.

Fonction partie fractionnaire

Elle est semi-continue à gauche et supérieurement. Elle est aussi périodique de période 1 et admet une décomposition en série de Fourier sous la forme

\{x\} = \frac{1}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n \pi}.

aux points x non entiers.

Fonction partie entière par excès

Aussi appelée « fonction plafond », elle peut se définir par l'expression :

\lceil x\rceil = -\mathrm \lfloor -x \rfloor.

Elle est semi-continue à gauche et inférieurement.

En outre, pour tout entier relatif k,

k = \lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil .
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