Glossaire topologique

Glossaire topologique

Glossaire topologique

Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés en topologie.

Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'espaces topologiques. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.

Sommaire

Généralités

A

Accessible : voir l'axiome de séparation T1.

Adhérence

L'adhérence ou fermeture d'une partie d'un espace topologique est le plus petit fermé contenant celle-ci. Un point est dit adhérent à une partie s'il appartient à son adhérence.
Voir aussi Valeur d'adhérence.

B

Base ou base d'ouverts

Une base d'un espace topologique est un ensemble d'ouverts dont les réunions sont tous les ouverts de la topologie. En particulier, une base d'ouverts est une base de voisinages.
Un espace est dit à base dénombrable s'il admet une base d'ouverts dénombrable.

Base de voisinages : voir Système fondamental de voisinages.

Boule

Dans un espace métrique, la boule ouverte (respectivement fermée) de centre x et de rayon r (réel strictement positif) est l'ensemble des points situés à une distance de x strictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) à r.
Dans un espace vectoriel normé, la boule unité (ouverte ou fermée) est la boule (ouverte ou fermée) de centre 0 et de rayon 1.

C

Cauchy : voir Suite de Cauchy.

Compact : voir les axiomes de recouvrement.

Complet

Un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy est convergente.

Complètement de Hausdorff : voir l'axiome de séparation T2½.

Complètement normal : voir l'axiome de séparation T5.

Complètement régulier : voir l'axiome de séparation T3½.

Composante connexe

La composante connexe d'un point est la plus grande partie connexe de l'espace contenant ce point. C'est l'union de toutes les parties connexes contenant ce point.

Connexe, connexe par arcs : voir les notions de connexité.

Continu

Une application entre espaces topologiques est dite continue lorsque l'image réciproque de chaque ouvert est un ouvert.

Contractile : voir les notions de connexité.

Convergent

Une suite dans un espace séparé est dite convergente s'il existe un point (appelé limite de la suite) dont chaque voisinage contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

D

Dense

Une partie dense d'un espace topologique est une partie dont l'adhérence est l'espace tout entier.

Dérivé

L'ensemble dérivé P' d'un partie P d'un espace topologique est l'ensemble de ses points d'accumulation.

Discontinu

Une application entre espaces topologiques est dite discontinue si elle n'est pas continue.
Voir aussi Totalement discontinu.

Discret

Un espace topologique est dit discret si toutes ses parties sont des ouverts. En particulier, il est totalement discontinu.

Distance

Une distance sur un ensemble E est une application d \colon E \times E \to \R^+ satisfaisant les propriétés suivantes :
  1. la symétrie : pour tout couple (x, y) d'éléments de E, d(x,y) = d(y,x) ;
  2. la séparation : pour tout couple (x, y) d'éléments de E, d(x,y) = 0 si et seulement si x = y ;
  3. l'inégalité triangulaire : pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).

E

Engendrée : voir Topologie engendrée.

Espace de Fréchet

  1. Un espace de Fréchet est un espace topologique satisfaisant l'axiome de séparation T1.
  2. Certains espaces vectoriels topologiques sont aussi dits de Fréchet.

Espace de Hausdorff : voir l'axiome de séparation T2.

Espace de Kolmogorov : voir l'axiome de séparation T0.

Espace de Tychonoff : voir l'axiome de séparation T3½.

Espace métrique

Un espace métrique est un couple (E,d), où E est un ensemble, et d une distance sur E. En particulier, il est métrisable donc séparé, paracompact, normal et complètement régulier.

Espace polonais

Un espace polonais est un espace séparable et métrisable par une distance pour laquelle il est complet.

Espace topologique

Un espace topologique est un ensemble E muni d'une topologie.

F

Faiblement normal : voir les axiomes de séparation.

Fermé

  1. Une partie d'un espace topologique est dite fermée lorsque son complémentaire est un ouvert.
    L'ensemble vide et l'espace sont donc des fermés. L'union de deux fermés est un fermé et l'intersection d'une famille quelconque de fermés est un fermé.
  2. En géométrie, une courbe est dite fermée lorsqu'elle est périodique.

Fermeture : voir Adhérence.

Fin

Une topologie est plus fine qu'une autre sur le même ensemble si tout ouvert pour la deuxième est ouvert pour la première.

Fonctionnellement séparés

Deux parties A et B d'un espace topologique X sont dites fonctionnellement séparées lorsqu'il existe une fonction continue f : X → [0,1] telle que f|A=0 et f|B = 1.

Fréchet : voir l'axiome de séparation T1, ou le type d'espace vectoriel topologique dit de Fréchet.

Frontière

La frontière d'une partie d'un espace topologique est le complémentaire de son intérieur dans son adhérence, autrement dit l'ensemble des points qui sont adhérents à la fois à cette partie et à son complémentaire. C'est un fermé.

Fσ : Une partie d'un espace topologique est un Fσ si c'est une réunion dénombrables de fermés.

G

Gδ : Une partie d'un espace topologique est un Gδ si c'est une intersection dénombrables d'ouverts.

Grossière : voir Topologie grossière.

H

Hausdorff :  : voir l'axiome de séparation T2 ou Séparé.

Homéomorphisme

Un homéomorphisme entre deux espaces est une bijection continue à réciproque continue. Deux espaces entre lesquels il existe un homéomorphisme sont dits homéomorphes.

Homogène

Un espace est dit homogène si le groupe des automorphismes agit transitivement, autrement dit si pour tout couple de points il existe un homéomorphisme de l'espace sur lui-même qui envoie le premier point sur le deuxième. Tous les groupes topologiques, en particulier les espaces vectoriels topologiques, sont des espaces homogènes.

Homotopie

Une homotopie entre deux applications continues f,g : X \to Y est une application continue H : X\times [0,1] \to Y telle que \forall x \in X, H(x,0) = f(x)\; \mbox{et}\; H(x,1)=g(x) . Les applications f et g sont alors dites homotopes.

I

Induite : voir Topologie induite.

Intérieur

L'intérieur d'une partie d'un espace topologique est la réunion de tous les ouverts contenus dans cette partie. C'est donc le plus grand ouvert contenu dans cette partie, ou le complémentaire de l'adhérence de son complémentaire. Un point est intérieur à une partie si et seulement si cette partie est un voisinage du point.

Isolé : voir Point isolé.

K

Kolmogorov : voir l'axiome de séparation T0 ou Espace de Kolmogorov.

L

Limite

La limite d'une suite convergente est son unique valeur d'adhérence.

Lindelöf : voir l'axiome de recouvrement Espace de Lindelöf.

Localement compact : voir les axiomes de recouvrement.

Localement connexe ou localement connexe par arcs : voir les notions de connexité.

Localement fini

Une famille de parties d'un espace topologique est dite localement finie lorsque chaque point possède un voisinage qui ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de la famille.

Localement métrisable

Un espace est dit localement métrisable lorsque chaque point admet un voisinage métrisable.

M

Maigre

Une partie d'un espace topologique est dite maigre lorsqu'elle est contenue dans une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.

Métrique : voir Espace métrique.

Métrisable

Un espace est dit métrisable lorsqu'il peut être muni d'une distance dont les boules forment une base d'ouverts. Un espace métrisable est nécessairement séparé et paracompact (et, par conséquence, normal et complètement régulier). Un espace à base dénombrable est métrisable si et seulement s'il est régulier d'après le lemme d'Urysohn.

Moins fine : voir Topologie moins fine.

N

Normal : voir les axiomes de séparation.

O

Ouvert

Un ouvert est un élément d'une topologie.
Un recouvrement est dit ouvert lorsque tous ses éléments sont des ouverts.
Une application entre espaces topologiques est dite ouverte lorsque l'image de chaque ouvert est un ouvert.

P

Paracompact : voir les axiomes de recouvrement.

Parfait

Un ensemble parfait d'un espace topologique est une partie fermé sans point isolé.

Parfaitement normal : voir les axiomes de séparation.

Partition de l'unité

Une partition de l'unité sur un espace topologique est un ensemble de fonctions continues à valeurs dans [0,1] tel que chaque point possède un voisinage sur lequel seul un nombre fini de ces fonctions ne sont pas constamment nulles et la somme des restrictions de celles-ci est constante égale à 1.

Plus fine : voir Topologie plus fine.

Point d'accumulation

Si A est une partie d'un espace topologique, un point d'accumulation de A est un point x dont tout voisinage contient un point de A distinct de x. Autrement dit, un point x est un point d'accumulation de A si et seulement s'il est adhérent à A − {x}.

Point isolé

Dans un espace séparé, un point isolé d'une partie A est un point x de A pour lequel il existe un voisinage qui ne rencontre A qu'au point x. Autrement dit, c'est un point de A qui n'est pas point d'accumulation de A.

Polonais : voir Espace polonais.

Prébase

Une prébase d'une topologie est un ensemble d'ouverts dont l'ensemble des intersections finies constitue une base.

Produit : voir Topologie produit.

Q

Quasi-compact : voir les axiomes de recouvrement.

Quotient

Voir Topologie quotient.

R

Raffinement

Un raffinement d'un recouvrement \mathcal U est un recouvrement dont chaque élément est inclus dans un élément de \mathcal U.

Rare

Une partie d'un espace topologique est dite rare ou nulle part dense lorsque son adhérence est d'intérieur vide, c'est-à-dire lorsque le complémentaire de son adhérence est dense.

Recouvrement

Un recouvrement d'un espace topologique est une famille de parties dont l'union est l'espace tout entier. Un recouvrement est dit ouvert lorsque tous ses éléments sont des ouverts.

Relativement compact

Une partie d'un espace topologique est dite relativement compacte lorsque son adhérence est compacte.

Régulier : voir l'axiome de séparation T3.

S

Séparable

Un espace séparable est un espace qui admet une partie dense dénombrable.
Un espace séparé n'est pas nécessairement séparable et réciproquement.

Séparant

Une famille d'applications continues entre deux espaces topologiques X et Y est dite séparante si tout couple de points distincts dans X a des images séparées dans Y par au moins l'une de ces applications.
L'espace X est alors nécessairement séparé.

Séparé : voir l'axiome de séparation T2.

Simplement connexe : voir les notions de connexité.

Sous-recouvrement

Un sous-recouvrement d'un recouvrement K est une partie de K qui est aussi un recouvrement.

Système fondamental de voisinages

Un système fondamental de voisinages d'un point est un ensemble \mathcal V de voisinages de ce point tel que tout autre voisinage de ce point contient un élément de \mathcal V.

Suite de Cauchy

Dans un espace métrique, une suite de Cauchy est une suite de points telle que pour tout réel strictement positif a il existe un rang de la suite à partir duquel la distance entre deux images quelconques de la suite est toujours inférieure à a.

T

T0, T1, T2, T2½, T3, T3½, T4, T5 : voir les axiomes de séparation.

Topologie

Une topologie sur un ensemble E est un sous-ensemble T de l'ensemble des parties E tel que :
  1. l'ensemble E lui-même et l'ensemble vide sont des éléments de T ;
  2. la réunion de toute famille d'éléments de T est un élément de T ;
  3. l'intersection de deux éléments de T est un élément de T.
Les éléments de T sont appelés les ouverts de cette topologie.

Topologie discrète

La topologie discrète sur un ensemble E est la topologie dont les ouverts sont toutes les parties de E. C'est la plus fine de toutes les topologies sur E.

Topologie engendrée

La topologie engendrée par un ensemble \mathcal P de parties d'un ensemble est celle dont les ouverts sont les réunions quelconques d'intersections finies d'éléments de \mathcal P. L'ensemble \mathcal P constitue une prébase de la topologie engendrée.

Topologie grossière

La topologie grossière sur un ensemble E est la topologie dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'ensemble E. C'est la moins fine de toutes les topologies sur E.

Topologie induite

La topologie induite sur une partie A d'un espace topologique E est l'ensemble des intersections de A avec les ouverts de E. C'est la topologie la moins fine sur A rendant continue l'injection canonique de A dans E.

Topologie moins fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est moins fine que la topologie T' si tout ouvert de T est ouvert de T'. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T') dans (E,T).

Topologie plus fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est plus fine que la topologie T' si tout ouvert de T' est ouvert de T. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T) dans (E,T').

Topologie produit

La topologie produit sur un produit quelconque d'espaces topologiques \prod_{i \in I}E_i est celle dont les ouverts sont les familles (U_i)_{i \in I} où un nombre fini d'éléments Ui sont des ouverts des espaces topologiques correspondants et les autres sont les espaces E_i correspondants.

C'est la topologie la moins fine rendant continues toutes les projections \pi_j \colon \prod_{i \in I}E_i \to E_j.

Topologie quotient

Si E est un espace topologique et \mathfrak R une relation d'équivalence sur E, la topologie quotient sur l'ensemble quotient E/\mathfrak R est l'ensemble des parties de E/\mathfrak R dont les préimages sont des ouverts de E. C'est la topologie la plus fine rendant continue la projection canonique, qui à tout élément de E associe sa classe d'équivalence..

Topologique : voir Espace topologique.

Totalement discontinu : voir les notions de connexité.

Tychonoff : voir l'axiome de séparation T3½ ou Complètement régulier.

U

Uniformisable : voir l'axiome de séparation T3½ ou Complètement régulier.

V

Valeur d'adhérence

Une valeur d'adhérence d'une suite de points d'un espace topologique est un point dont tout voisinage contient une infinité de termes de la suite. Si tout point admet une base dénombrable de voisinages, une valeur d'adhérence est la limite d'une sous-suite.

Voisinage

Un voisinage d'une partie A d'un espace topologique est un ensemble contenant un ouvert contenant lui-même A. En particulier, un voisinage ouvert de A est simplement un ouvert contenant A. Un voisinage d'un point p est un voisinage du singleton {p}.

Propriétés d'espaces topologiques

Les espaces topologiques peuvent être qualifiés de différentes manières en termes de séparation, de recouvrements ou de connexité.

Axiomes de séparation

Les axiomes de séparation signalent l'existence de voisinages (ouverts ou fermés) disjoints qui séparent certaines parties disjointes. Certains des termes employés ici peuvent avoir été définis autrement dans la littérature ancienne (voir l'histoire des axiomes de séparation).

L'expression « axiome de séparation » en topologie ne doit pas être confondue avec l'axiome de séparation de la théorie des ensembles).

T0 ou de Kolmogorov : dans lequel pour tout couple de points distincts, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre.

L'espace E = {a,b} dont les ouverts sont \varnothing, \{a\}, E est T0 mais pas T1.

T1 ou accessible ou de Fréchet : dont tous les singletons sont fermés.

Tout point y est l'unique intersection de ses voisinages.
Un espace E infini dont les ouverts non vides sont les complémentaires des parties finies (c'est-à-dire muni de la topologie cofinie) est T1 mais pas T2.

T2 ou de Hausdorff ou séparé : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinages disjoints.

Tout point y est l'unique intersection de ses voisinages fermés.
Un espace séparé n'est pas nécessairement séparable et réciproquement.
On trouvera dans l'article dédié un exemple d'espace T2 mais non T2½.

 : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinage fermés disjoints.

L'ensemble \mathbb R muni de la topologie engendrée par les intervalles ]a,b[ et l'ensemble des rationnels \mathbb Q est T2½ mais pas T3.

T3 ou régulier : séparé et dans lequel tout fermé et tout point n'appartenant pas à ce fermé admettent des voisinages disjoints.

Tout fermé y est l'intersection de ses voisinages fermés. Tout point admet une base de voisinages fermés.

 : séparé et dont tout fermé est fonctionnellement séparé de tout point qu'il ne contient pas.

 : complètement régulier et dans lequel deux ouverts disjoints quelconques ont deux voisinages fermés disjoints dont l'un est à base dénombrable.

Normal : dans lequel deux fermés disjoints quelconques possèdent toujours des voisinages disjoints. Le lemme d'Urysohn garantit alors que ces deux fermés sont fonctionnellement séparés.

 : séparé et normal.

 : séparé et dans lequel pour toutes parties A et B telles que l'adhérence de l'un n'intersecte pas l'autre, il existe deux ouverts disjoints contenant respectivement A et B.

En particulier, un espace complètement normal est T4.

 : normal et dont tout fermé est intersection dénombrable d'ouverts.

En particulier, un espace parfaitement normal est alors complètement normal.

Axiomes de recouvrement

Les axiomes de recouvrement traitent de l'existence de raffinements ou de sous-recouvrements particuliers pour un recouvrement quelconque de l'espace considéré.

Paracompact : dont tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini.

Les espaces séparés paracompacts sont normaux.

Lindelöf : dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement dénombrable.

Quasi-compact : dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.

Compact : quasi-compact et séparé.

Le terme compact est utilisé en anglais pour décrire un quasi-compact. Le risque de confusion peut alors amener à préciser « compact Hausdorff » pour désigner l'acception française.
Voir aussi Relativement compact.

σ-compact ou sigma-compact : recouvert par une famille dénombrable de parties compactes.

Localement compact : dont chaque point admet un système fondamental de voisinages compacts.

Les espaces séparés localement compacts sont de Tychonoff.

Séquentiellement compact : dans lequel toute suite admet au moins une valeur d'adhérence.

Connexité

Les hypothèses de connexité décrivent la cohésion de l'espace ou de certains voisinages, ou l'existence de déformations (homotopies) entre certaines applications continues vers l'espace considéré.

Connexe : qui n'est pas l'union disjointe de deux ouverts non vides.

Voir aussi Composante connexe.

Localement connexe : dont chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes.

Totalement discontinu : dont les seules parties connexes sont les singletons.

Connexe par arcs : dont tout couple de points (x,y) est relié par un chemin (ou arc), c'est-à-dire une application continue p:[0,1]\to X telle que p(0) = x et p(1) = y.

Un espace connexe par arcs est connexe.

Localement connexe par arcs : dont chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes par arcs.

Un espace localement connexe par arcs est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs.

Simplement connexe : connexe par arcs et dans lequel toute application continue f:S^1 \to X est homotope à une application constante.

Contractile : pour lequel l'application identité de X est homotope à une application constante.

Les espaces contractiles sont toujours simplement connexes.
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