Ensemble Parfait

Ensemble Parfait

Ensemble parfait

Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à l'ensemble de ses points d'accumulation.

Exemples

Dans \mathbb R, un segment [a,b] est un exemple trivial d'ensemble parfait.


Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace produit \{0,1\}^{\mathbb N} muni de la topologie produit. Plus généralement, l'espace {0,1}I est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple[1] d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est donné par l'ensemble \{ \sum_{n \in E} a_n, E \subset \mathbb N\} où \sum a_n est une série absolument convergente de complexes telle que, pour tout N,

∑ | an | < | aN |
n > N

.


On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si P0 est une partie bornée de \mathbb R ou de \mathbb R^n, on définit le dérivéP' = P1 de P0 comme l'ensemble des points d'accumulation de P0. Pour tout ordinal α, on pose Pα + 1 = (Pα)', et, si α est un ordinal limite, P^{\alpha} = \cap_{\beta<\alpha} P^{\beta}. Si Ω désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que :

  • Ou bien P^{\Omega} = \varnothing. On dit que P0 est réductible.
  • Ou bien PΩ \neq \varnothing et dans ce cas, c'est un ensemble parfait. P0 est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Notes et références

  1. ↑ Jean-Marie Arnaudiès, L'intégrale de Lebsegue sur la droite, Vuibert (1997), p18-20
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