Boule (Mathématiques)

Boule (Mathématiques)

Boule (topologie)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Boule.

En topologie, une boule est un type de voisinage particulier dans un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre la boule solide dans l'espace usuel à trois dimensions, mais la notion se généralise entre autres à des espaces de dimension plus grande (ou plus petite) ou encore de norme non euclidienne. Dans ce cas, une boule peut ne pas être ronde au sens usuel du terme.

Sommaire

Définition générale

Dans l'espace usuel comme dans n'importe quel espace métrique, la boule fermée centrée en un point P et de rayon réel strictement positif r est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure ou égale à r. La boule ouverte correspondante est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure strictement à r.

Dans un espace vectoriel normé, la boule unité (ouverte ou fermée) est la boule centrée à l'origine et de rayon 1.

Les boules fermées des espaces euclidiens sont aussi appelés des disques.

Propriétés

  • Une boule ouverte est toujours un ouvert de l'espace dans laquelle elle est définie. De même, une boule fermée est toujours un fermé.
  • Dans un espace vectoriel normé, toutes les boules ouvertes (resp. fermées) sont semblables par translation et homothétie. La boule unité est toujours un convexe borné, symétrique par rapport à l'origine et d'intérieur non vide.
  • Dans un espace vectoriel réel normé, la boule ouverte est l'intérieur de la boule fermée correspondante. Cela peut être faux dans d'autres espaces métriques.
  • Dans un espace vectoriel réel normé de dimension finie, la boule fermée est l'adhérence de la boule ouverte. Cela peut être faux même dans certains espaces vectoriels réels.
  • Une partie d'un espace topologique est ouverte si et seulement si elle est la réunion des boules qu'elle contient.

Exemples de boules exotiques

  • Dans l'espace réel à trois dimensions muni de la norme infini, les boules ont une forme cubique avec des faces parallèles aux axes.
  • Dans l'ensemble des entiers muni de la distance usuelle (valeur absolue de la différence), une boule ouverte de rayon 1 ne contient que son centre ; c'est donc un fermé. Inversément, la boule fermée de rayon 1 contient trois points (le centre et les deux entiers adjacents) et c'est un ouvert[1].
d((u_n),\,(v_n))= \frac{1}{1+\inf\{n \in \N\colon u_n \neq v_n\}}
Exemple de distance ultramétrique sur l'ensemble des suites d'entiers
  • Dans un espace muni d'une distance ultramétrique, les boules sont à la fois ouvertes et fermées, tout point d'une boule en est un centre et si deux boules se rencontrent, l'une est contenue dans l'autre. De tels espaces se rencontrent en analyse p-adique mais aussi dans des situations plus élémentaires : sur l'ensemble des suites d'entiers, il suffit de définir la distance entre deux suites par l'inverse du plus petit rang où les termes diffèrent.

Utilisation

  • Une partie d'un espace métrique est ouverte si et seulement si elle est la réunion des boules qu'elle contient.
  • Le théorème de Riesz énonce qu'un espace vectoriel réel normé est de dimension fini si et seulement si sa boule fermée unité est compacte.

Notes et références

  1. Puisque cet ensemble est discret, toutes ses parties sont simultanément ouvertes et fermées.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Boule (topologie) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Boule (Mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Boule (mathématiques) — Boule (topologie) Pour les articles homonymes, voir Boule. En topologie, une boule est un type de voisinage particulier dans un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre la boule solide dans l espace usuel à trois dimensions, mais la notion… …   Wikipédia en Français

  • Boule fermee — Boule fermée Cet article court présente un sujet plus amplement développé ici : Boule (mathématiques). Dans un espace métrique (E,d), pour et , la boule fermée de centre x0 et de rayon ρ est par définition l ensemble  …   Wikipédia en Français

  • Boule fermée — Pour les articles homonymes, voir Boule. Cet article court présente un sujet plus développé dans : Boule (mathématiques). Dans un espace métrique (E,d), pour et , la boule fermée de centre x0 et de rayon ρ es …   Wikipédia en Français

  • Boule ouverte — Cet article court présente un sujet plus développé dans : Boule (mathématiques). Dans un espace métrique (E,d), pour et , la boule ouverte de centre x0 et de rayon ρ est par définition l ensemble  …   Wikipédia en Français

  • boule — [ bul ] n. f. • XIIIe; lat. bulla « bulle », puis « boule » creuse 1 ♦ Corps sphérique. ⇒ sphère. Rond comme une boule. Rouler comme une boule. Boule de pain : pain rond. ⇒ miche. Boule à thé. Boules Quies (marque déposée) :petites boules de cire …   Encyclopédie Universelle

  • Boule unité — Boule (topologie) Pour les articles homonymes, voir Boule. En topologie, une boule est un type de voisinage particulier dans un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre la boule solide dans l espace usuel à trois dimensions, mais la notion… …   Wikipédia en Français

  • Boule — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom.  Pour les articles homophones, voir Boole et Boulle. Sur les autres projets Wikimedia  …   Wikipédia en Français

  • Boule (topologie) — Pour les articles homonymes, voir Boule. En topologie, une boule est un type de voisinage particulier dans un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre la boule solide dans l espace usuel à trois dimensions, mais la notion se généralise entre …   Wikipédia en Français

  • Norme (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Norme. En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d un vecteur dans un espace affine, mais… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de la boule chevelue — Théorème de la boule chevelue Si un champ de vecteurs sur une sphère est symbolisé par des cheveux de longueur constante, le théorème de la boule chevelue stipule que la sphère contient au moins un épi. La figure en contient deux, un sur chaque… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”