Préimage

Préimage

Antécédent (mathématiques)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Antécédent.

Sommaire

Définition

En mathématiques, étant donnés deux ensembles non vides E, F et une application \ f : E \to F, on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément x de E tel que \ f (x) = y.

Un antécédent est donc, par définition, un élément de l'image réciproque \ f^{-1}(\{y\}).

Exemples

  • Soient la fonction \ f : \R \to \R,\, x \mapsto x^2 et y un réel.
Si y > 0, y admet deux antécédents, qui sont \ \sqrt{y} et \ -\sqrt{y}
Si y = 0, y admet un seul antécédent, qui est 0
Si y < 0, y n'admet aucun antécédent
  • Soient E un ensemble non vide, et une application \ f : E \to \mathcal{P}(E), où \ \mathcal{P}(E) désigne l'ensemble des parties de E. On définit \ Y = \{x \in E\, /\, x \notin f(x)\} : Y est une partie de E, autrement dit un élément de l'ensemble \ \mathcal{P}(E).
Cet élément n'admet aucun antécédent par f. En effet, supposons qu'un tel antécédent \ x_0 \in E existe. On a donc \ f (x_0) = Y.
Deux cas sont possibles :
\ x_0 \in Y, ce qui veut dire (par définition de Y) que \ x_0 \notin f(x_0), ou \ x_0 \notin Y
\ x_0 \notin Y, ce qui veut dire (par définition de Y) que \ x_0 \in f(x_0), ou \ x_0 \in Y
Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction, ce qui prouve par l'absurde que Y n'a pas d'antécédent (cf. l'argument de la diagonale de Cantor).

Image d'un ensemble par une application

Soient une application \ f : E \to F et A un sous-ensemble de E. On appelle image de A par f l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note \ f (A):

\ f (A) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in A, y = f(x)\}.

En particulier, l'image de E par f, appelée image de f, est l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent :

\ f (E) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in E, y = f(x)\}.

Injections, surjections, bijections

Soit une application \ f : E \to F.

  • On dit que f est injective, ou que c'est une injection, si tout élément de F admet au plus un antécédent.
  • On dit que f est surjective, ou que c'est une surjection, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si
\ f (E) = F.
  • On dit que f est bijective, ou que c'est une bijection, si tout élément de F admet un antécédent et un seul, c'est-à-dire si f est à la fois injective et surjective.
Dans ce cas, on peut définir l'application \ f^{-1} : F \to E, y \mapsto x, où x est l'unique antécédent de y par f. C'est aussi une bijection, dite réciproque de f.

(l'exemple vu plus haut montre qu'il n'existe aucune application surjective \ f : E \to \mathcal{P}(E)).

Voir aussi

Ce document provient de « Ant%C3%A9c%C3%A9dent (math%C3%A9matiques) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Préimage de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • preimage — noun The set containing exactly every member of the domain of a function such that the member is mapped by the function onto an element of a given subset of the codomain of the function. Formally, of a subset B of the codomain Y under a function… …   Wiktionary

  • Preimage attack — In cryptography, a preimage attack on a cryptographic hash is an attempt to find a message that has a specific hash value. There are two types of preimage attacks:* First preimage attack : given a hash h , find a message m such that hash(m) = h …   Wikipedia

  • Preimage-Angriff — Urbild Angriffe (auch engl. preimage attack) sind Angriffe auf eine kryptologische Hashfunktion mit dem Ziel, zu einem gegebenen Hash einer unbekannten Nachricht (Erstes Urbild Angriff, auch engl. first preimage attack) oder zu einer gegebenen… …   Deutsch Wikipedia

  • Preimage theorem — In mathematics, particularly in differential topology, the preimage theorem is a theorem concerning the preimage of particular points in a manifold under the action of a smooth map.tatement of Theorem Definition. Let f: X o Y,! be a smooth map… …   Wikipedia

  • preimage — n. * * * …   Universalium

  • preimage — n …   Useful english dictionary

  • One-way compression function — In cryptography, a one way compression function is a function that transforms two fixed length inputs to an output of the same size as one of the inputs. The transformation is one way , meaning that it is difficult given a particular output to… …   Wikipedia

  • Function (mathematics) — f(x) redirects here. For the band, see f(x) (band). Graph of example function, In mathematics, a function associates one quantity, the a …   Wikipedia

  • Implementation of mathematics in set theory — This article examines the implementation of mathematical concepts in set theory. The implementation of a number of basic mathematical concepts is carried out in parallel in ZFC (the dominant set theory) and in NFU, the version of Quine s New… …   Wikipedia

  • Image (mathematics) — In mathematics, the image of a preimage under a given function is the set of all possible function outputs when taking each element of the preimage, successively, as the function s argument. DefinitionIf f : X → Y is a function from set X to set… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”