Vecteur propre généralisé

Vecteur propre généralisé

Sous-espace caractéristique

Définitions

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit \ \lambda \in \mathrm{sp}(u)

  • on appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de \ u associé à la valeur propre \ \lambda le sous espace : N_{\lambda}(u) = \ker\left[ (u- \lambda Id)^m \right] , Id étant l'application identité et m la multiplicité de λ dans le polynôme caractéristique de l'endomorphisme u.


  • \vec{v} \ est un vecteur propre généralisé de u associé à la valeur propre λ s'il existe \ k\geq 1 \ tel que \ \vec{v}\in\ker\left(u-\lambda Id\right)^k\smallsetminus\{\vec{0}\}


Remarque : Cette définition implique que \vec{v}\in N_{\lambda}(u) \ \Longleftrightarrow \ \vec{v} \ est un vecteur propre généralisé de u associé à λ.


Intérêt

Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme. En effet un endomorphisme u d'un espace vectoriel E est trigonalisable si et seulement si E est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de u, c'est-à-dire si et seulement si il existe une base de E formée de vecteurs propres généralisés de u. Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.

Article détaillé : Réduction de Jordan.


Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète Mathématiques
Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Sous-espace caract%C3%A9ristique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Vecteur propre généralisé de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Espace propre généralisé — Sous espace caractéristique Définitions Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit on appelle sous espace caractéristique, sous espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur… …   Wikipédia en Français

  • Espace propre généralisé et vecteurs propres — Sous espace caractéristique Définitions Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit on appelle sous espace caractéristique, sous espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur… …   Wikipédia en Français

  • Valeur propre, vecteur propre et espace propre — Fig. 1. A étire le vecteur x sans changer sa direction. x est un vecteur propre pour A, pour la valeur propre λ. En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s appliquant à …   Wikipédia en Français

  • Vecteur — Pour les articles homonymes, voir Vecteur (homonymie). Deux vecteurs et et le vecteur somme. En …   Wikipédia en Français

  • Vecteur axial — Pseudovecteur En physique et en mathématiques, un pseudovecteur ou vecteur axial est un objet mathématique qui se comporte de la même manière qu un vecteur pour une rotation directe (conservant les angles orientés) mais qui change de sens lors d… …   Wikipédia en Français

  • Problème aux valeurs propres généralisé — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… …   Wikipédia en Français

  • Base propre — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… …   Wikipédia en Français

  • Espace propre — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace propre — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… …   Wikipédia en Français

  • Pseudo-vecteur — Pseudovecteur En physique et en mathématiques, un pseudovecteur ou vecteur axial est un objet mathématique qui se comporte de même manière qu un vecteur pour une rotation directe (conservant les angles orientés), mais qui change de sens lors d… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”