- Droite réelle achevée
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En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés
et 
(qui ne sont pas des nombres). On la note 
( la barre symbolise ici le voisinage), [−∞, +∞] ou 
∪ {−∞, +∞}.Cet ensemble est très utile en analyse, et particulièrement dans certaines théories de l'intégration.
Sommaire
Propriétés
et sont caractérisés par les propriétés suivantes :- pour tout réel x, x < ,
- pour tout réel x, x >
L'une des particularités de la droite réelle achevée est que toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide ∅ (
est sa borne inférieure et sa borne supérieure).La topologie usuelle associée à
est telle que les voisinages de sont les surensembles des intervalles 
et les voisinages de les surensembles des intervalles ![]a, + \infty]](f/21fc799962e566241df50b87d4a0c90d.png)
, avec 
, les voisinages des réels restant les mêmes, éventuellement augmentés de et/ou de . Cette topologie sur induit sur 
une topologie identique à sa topologie usuelle.Pour cette topologie,
est homéomorphe à un intervalle fermé [a,b] de , et est en particulier compact.Opérations
L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée.
Addition
- Pour tout réel x,
- x + () = ()
- x + () = ()
- () + () = ()
- () + () = ()
- x + (
Multiplication
- Pour tout réel strictement positif x (x > 0),
,
.
- Pour tout réel strictement négatif x (x < 0),
,
.
- Par ailleurs,
,
,
.
Opérations indéterminées
(
) + () n'est pas défini.La division par zéro reste impossible, ne serait-ce que parce que comme tout réel non-nul divisé par +∞ ou -∞ donne 0, on ne peut pas choisir si un nombre divisé par 0 donne +∞ ou -∞. De même, les expressions
et 
n'ont aucun sens.Voir aussi
Catégories :- Infini
- Espace topologique remarquable
- Analyse réelle
- Compacité
- pour tout réel x, x <
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