Borne supérieure

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Borne (mathématiques)

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Sommaire

Définition

Dans un ensemble ordonné E, la borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie majorée (resp. minorée) F de E est, s'il existe, le plus petit (resp. le plus grand) majorant (resp. minorant) de F. Elle est classiquement notée sup(F) (resp. inf(F) ).

Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné ne possède pas nécessairement une borne supérieure ou inférieure.

Propriété de la borne supérieure

Un corps K possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide et majorée de K possède une borne supérieure.

C'est notamment le cas du corps des réels.


Exemples

  • Toute partie majorée non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure.
  • La borne supérieure de l'intervalle ]0,1[ est 1.
  • La borne inférieure de l'intervalle ]0,1[ est 0.
  • L'ensemble des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de \mathbb Q qui n'a pas de borne supérieure dans \mathbb Q
  • La partie \mathbb R_- de  \mathbb R ne possède pas de borne inférieure. Toutefois, considéré comme sous-ensemble de la droite achevée \overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty,+\infty\} , il admet  -\infty comme borne inférieure.
  • Un treillis est un ensemble ordonné où toute paire possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Notions connexes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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