Compactifie d'Alexandroff
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Compactifié d'Alexandroff
Soit X un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à X, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère 
où 
, et on définit une topologie de la manière suivante.
L'ensemble des ouverts de 
est constitué par :
On vérifie alors que muni de cette topologie est un espace compact.
L'espace s'appelle alors le compactifié d'Alexandroff de l'espace localement compact X ; x s'appelle le point à l'infini de et se note également ∞.
Exemples
Le compactifié d'Alexandroff de 
est homéomorphe à la sphère de dimension n.
Par exemple le compactifié d'Alexandroff de 
est un cercle, celui de 
(ou 
) est une sphère, appelée communément sphère de Riemann.
Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point "à l'infini" : à l'infini la droite réelle se "referme" en un cercle.
Voir aussi
Compactification
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, où Kc est le complémentaire d'un compact K de X.
