Compactifie d'Alexandroff

Compactifie d'Alexandroff

Compactifié d'Alexandroff

Soit X un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à X, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère \tilde{X} = X \cup \{x\} où x \not\in X, et on définit une topologie de la manière suivante.

L'ensemble des ouverts de \tilde{X} est constitué par :

On vérifie alors que \tilde{X} muni de cette topologie est un espace compact.

L'espace \tilde{X} s'appelle alors le compactifié d'Alexandroff de l'espace localement compact X ; x s'appelle le point à l'infini de \tilde{X} et se note également ∞.

Exemples

Le compactifié d'Alexandroff de \mathbb R^n est homéomorphe à la sphère de dimension n.

Par exemple le compactifié d'Alexandroff de \mathbb R est un cercle, celui de \mathbb R^2 (ou \mathbb{C}) est une sphère, appelée communément sphère de Riemann.

Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point "à l'infini" : à l'infini la droite réelle se "referme" en un cercle.

Voir aussi

Compactification

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