Théorème de la base incomplète

Théorème de la base incomplète

En algèbre linéaire, le théorème de la base incomplète affirme que, dans un espace vectoriel E,

  • toute famille libre de vecteurs peut être complétée en une famille libre et génératrice de E (c'est-à-dire une base de E) ;
  • de toute famille génératrice de E peut être extraite une sous-famille libre et génératrice

En particulier, ce théorème affirme que tout espace vectoriel E admet une base. En effet, la famille vide est libre et peut être complétée en une base de E. Ce résultat d'existence, joint au théorème selon lequel toutes les bases de E ont même cardinal, conduit à la définition de la dimension d'un espace vectoriel.

L'énoncé du théorème est le suivant :

Théorème de la base incomplète. Soient E un espace vectoriel, (u_i)_{i \in I} une famille génératrice de E et (u_i)_{i \in I'} une sous-famille libre, avec I'\subset I. Alors il existe J tel que I'\subset J\subset I et que (u_i)_{i \in J} soit une base de E.

Sommaire

Démonstration

La démonstration dans le cas où I est fini repose sur l'algorithme suivant :

  1. Soit une sous-famille libre initiale (u_i)_{i \in I'}.
  2. Si cette famille n'est pas génératrice (n'est pas une base), il existe un indice i tel que ui n'est pas une combinaison linéaire de (u_i)_{i \in I'}. Nécessairement, i n'appartient pas à I'.
  3. On remplace I' par I'\cup \{i\}. La famille (u_i)_{i \in I'} est une sous-famille libre de (u_i)_{i \in I}. On réitère 2.

La boucle se termine en un nombre fini d'étapes lorsque (u_i)_{i \in I'} est une famille génératrice, donc une base de E.

Cas où I est fini
Preuve de la correction.
Premier invariant à démontrer : en 2, si (u_i)_{i \in I'} est bien une famille libre non génératrice, on peut lui adjoindre un élément de (u_i)_{i \in I} qui n'est pas combinaison linéaire de (u_i)_{i \in I'}.
En effet, s'il n'existait pas d'élément de (u_i)_{i \in I} qui ne soit pas combinaison linéaire de (u_i)_{i \in I'}, cela voudrait dire que (u_i)_{i \in I'} peut générer tout (u_i)_{i \in I}, et donc tout E, puisque cette dernière famille est génératrice de E. Donc (u_i)_{i \in I'} serait déjà génératrice de E.
Deuxième invariant à démontrer : lorsque l'on ajoute un tel élément à (u_i)_{i \in I'}, la nouvelle famille obtenue est toujours libre.
En effet, le nouvel élément n'est pas une combinaison linéaire des précédents.
Preuve de la terminaison.
À chaque itération, on augmente (u_i)_{i \in I'} d'un élément de (u_i)_{i \in I} à chaque fois différent (en effet, on ne peut pas prendre deux fois un élément car il est combinaison linéaire de lui-même). Or (u_i)_{i \in I} est finie, donc l'algorithme doit s'arrêter au bout d'un nombre fini d'étapes.
Il découle de cela que l'algorithme s'arrêtera dans un temps fini et que lorsqu'il s'arrête, il a forcément exhibé une famille génératrice et libre de E, c'est-à-dire une base.

Dans le cas général, la première démonstration est due au mathématicien Georg Hamel, et repose nécessairement sur l'axiome du choix[1]. La démonstration qui suit utilise le lemme de Zorn, qui lui est équivalent. Elle consiste à construire la base recherchée comme une famille libre maximale (ou une famille génératrice minimale).

Cas général
Soit F l'ensemble des parties J de I, contenant I' et telles que la sous-famille (u_i)_{i\in J} soit libre.
  • L'ensemble F est non vide, car il contient par hypothèses I'.
  • Cet ensemble F de parties de I est inductif pour l'inclusion : il est même stable par unions de chaînes non vides.
Le lemme de Zorn s'applique et donne l'existence d'une sous-famille libre maximale B=(u_i)_{i\in J} avec I'\subset J\subset I. Montrons que cette famille libre est aussi génératrice :
  • Tout vecteur ui s'exprime comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille B puisque (par maximalité de B) si ce vecteur n'est pas déjà dans B, il forme avec B une famille liée.
  • Tout vecteur u de E s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs ui, et donc comme combinaison linéaire des vecteurs de B.

Applications

  • Tout sous-espace vectoriel F d'un espace vectoriel E possède dans E un sous-espace supplémentaire : on considère une base B de F qu'on complète en une base B' de E : l'espace engendré par les vecteurs de B' qui ne sont pas dans B est un supplémentaire de F.

Remarque

Ce théorème, vrai pour tout espace vectoriel, ne se généralise pas à tout module sur un anneau. Par exemple, le Z-module Z/2Z n'est pas un module libre, i.e. ne possède pas de base. Le point crucial dans les démonstrations ci-dessus (aussi bien dans le cas fini que dans le cas général) est que dans un espace vectoriel sur un corps commutatif (mais pas dans un module sur un anneau quelconque, même aussi simple que Z/2Z), lorsqu'on ajoute à une famille libre un nouveau vecteur qu'elle n'engendre pas, alors la nouvelle famille est encore libre.

Notes et références

  1. ↑ Hamel démontre l'existence d'une base des réels comme espace vectoriel sur les rationnels. La démonstration par induction utilise le théorème de Zermelo et elle est générale, voir l'article Georg Hamel.

Voir aussi

v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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