Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels

Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels

En mathématiques, le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels énonce que deux bases quelconques d'un même espace vectoriel ont même cardinalité. Joint au théorème de la base incomplète qui assure l'existence de bases, il permet de définir la dimension d'un espace vectoriel comme le cardinal (fini ou infini) commun à toutes ses bases.

Si l'espace est finiment engendré (c'est-à-dire s'il possède une famille génératrice finie), le théorème donne que ses bases ont toutes le même nombre d'éléments.

Preuve

Soient (ai )i ∈ I et (bj )j ∈ J deux familles génératrices de V telles que le cardinal de I soit strictement supérieur à celui de J, nous allons montrer qu'alors, (ai )i ∈ I est liée. Ceci prouvera que toute famille de cardinal strictement supérieur à celui d'une famille génératrice (en particulier : à celui d'une base) n'est pas une base.

Cas I infini

Chaque bj peut être écrit sous la forme d'une somme finie

b_j = \sum_{i\in E_j} \lambda_{i,j} a_i , où Ej est un sous-ensemble fini de I.

Comme le cardinal de I est strictement plus grand que celui de J et que les Ej sont des sous-ensembles finis de I, le cardinal de I est aussi strictement supérieur à celui de la réunion des Ej quand j parcourt J. (NB : Cet argument est valable seulement pour I infini.) Donc il existe un i0 ∈ I qui n'apparait dans aucun des Ej. Le ai0 correspondant peut être exprimé comme une combinaison linéaire finie de bj, qui à leur tour peuvent être exprimés comme combinaison linéaire finie de ai, dans lesquelles ne figure pas ai0. Par conséquent ai0 est linéairement dépendant des autres ai.

Cas I fini

L'hypothèse que (ai )i ∈ I est génératrice n'est pas utile dans ce cas.

Une première méthode est d'utiliser le lemme de Steinitz. En voici une seconde.

Soient m et n les nombres respectifs d'éléments de I et J (par hypothèse, m>n ). Chaque ai peut être écrit sous la forme d'une somme

a_i = \sum_{j\in J} \mu_{i,j} b_j~.

La matrice (μi,j )i ∈ I , j ∈ J a n colonnes (la je colonne est constituée du m-uplet (μi,j )i ∈ I ), donc son rang est au plus égal à n. Par conséquent, ses m lignes sont liées. Notons ri = (μi,j )j ∈ J la ie ligne, il existe donc des scalaires νi non tous nuls tels que la ligne

\sum_{i\in I} \nu_i r_i

soit nulle. On en déduit

\sum_{i\in I} \nu_i a_i = \sum_{i\in I} \nu_i \sum_{j\in J} \mu_{i,j} b_j = \sum_{j\in J} \biggl(\sum_{i\in I} \nu_i\mu_{i,j} \biggr) b_j = 0~,

ce qui prouve que les ai sont liés.



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels de Wikipédia en français (auteurs)

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