- Théorème de Stampacchia
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Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.
Sommaire
Énoncé
Soient
- un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté
- une partie convexe fermée non vide de
- une forme bilinéaire qui soit
- une forme linéaire continue sur
Sous ces conditions, il existe un unique u de K tel que
Si de plus la forme bilinéaire a est symétrique, alors ce même u est l'unique élément de K qui minimise la fonctionnelle définie par pour tout de , en particulier :
Démonstration
Cas général
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur tel que
Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu tel que
De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où
Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente
Pour tout réel r strictement positif, c'est également équivalent à
Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit
où pK est l'opérateur de projection sur K. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain r > 0, il existe un unique qui vérifie l'équation de point fixe u = Pr(u) où l'application est définie par .
Pour cela, choisissons r de telle façon que Pr soit une application contractante. Soient x et y deux éléments de K. Comme l'opérateur de projection pK est 1-lipschitzien, on a
D'où
Comme la forme bilinéaire a est coercive, on a . Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité . Par conséquent,
L'application Pr est contractante dès que 1 + r2c2 − 2rα < 1, c'est-à-dire si on a 0 < r < 2α / c2. En choisissant un tel r et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique tel que , ce qui conclut la démonstration.
Cas symétrique
Si la forme bilinéaire a est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur . La coercivité implique que a est définie et positive. On note par ce produit scalaire qui est défini par :
Par application du [[théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert, procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique tel que pour tout .
La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :
En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :
où est l'opérateur de projection sur K utilisant le produit scalaire défini par a. La relation (1) est donc équivalente à :
soit encore
ou bien
- ,
ce qui conclut la démonstration.
Applications
- Ce théorème sert notamment en mécanique où I est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les théorèmes énergétiques de mécanique.
- Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de solutions faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
- Voir un exemple d'application au problème de l'obstacle
Catégories :- Théorème de mathématiques
- Espace de Hilbert
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