Théorème de Stampacchia

Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
- 2.1 Cas général
- 2.2 Cas symétrique
3 Applications

Énoncé

Soient

$\mathcal{H}$ un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté $\langle.,.\rangle$
$K~$ une partie convexe fermée non vide de $\mathcal{H}$
une forme bilinéaire qui soit
- continue sur $\mathcal{H}\times\mathcal{H}$ : $\exists\,c>0 \quad \forall u,v\in \mathcal{H} \quad \|a(u,v)\|\leq c\|u\|\|v\|\quad$
- coercive sur $\mathcal{H}$ : $\exists\,\alpha>0 \quad \forall u\in\mathcal{H} \quad \ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2 \quad$
$L(.)~$ une forme linéaire continue sur $\mathcal{H}$

Sous ces conditions, il existe un unique $u$ de $K$ tel que

$(1) \quad \forall\ v\in K \quad a(u,v-u)\geq L(v-u) \quad$

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors ce même $u$ est l'unique élément de $K$ qui minimise la fonctionnelle $I:\mathcal{H}\rightarrow\R$ définie par $I(v)=\tfrac{1}{2} a(v,v)-L(v)$ pour tout $v~$ de $K~$ , en particulier :

$(2) \quad \exists!\ u\in K \quad I(u) = \min_{v\in K} I(v)$

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f\in\mathcal{H}$ tel que

$\forall v\in\mathcal H,\quad Lv=\langle f,v\rangle.$

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$ tel que

$\forall u,v\in\mathcal H,\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle.$

De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où

$\qquad (3) \quad \forall\ u\in \mathcal{H} \quad \|A(u)\|\leq c\|u\|$

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

$\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0$

Pour tout réel $r$ strictement positif, c'est également équivalent à

$\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0$

Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit

$\exists!\,u\in K \quad u=p_K(rf-rA(u)+u)$

où $p K$ est l'opérateur de projection sur $K$ . Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain $r > 0$ , il existe un unique $u\in K$ qui vérifie l'équation de point fixe $u = P r (u)$ où l'application $P_r:K\rightarrow K$ est définie par $P_r(v)=p_K\big(rf-rA(v)+v\big)$ .

Pour cela, choisissons $r$ de telle façon que $P r$ soit une application contractante. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $K$ . Comme l'opérateur de projection $p K$ est 1-lipschitzien, on a

$\|P_r(x)-P_r(y)\| \leq \|x-y-rA(x-y)\|$

D'où

$\|P_r(x)-P_r(y)\|^2 \leq \|x-y\|^2 + r^2\|A(x-y)\|^2 - 2r\langle x-y,A(x-y)\rangle$

Comme la forme bilinéaire $a$ est coercive, on a $\langle A(x-y),x-y\rangle=a(x-y,x-y) \geq \alpha\|x-y\|^2$ . Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité $\|A(x-y)\|\leq c\|x-y\|$ . Par conséquent,

$\|P_r(x)-P_r(y)\|^2 \leq \big(1+r^2c^2-2r\alpha\big)\|x-y\|^2$

L'application $P r$ est contractante dès que $1 + r 2 c 2 - 2 r α < 1$ , c'est-à-dire si on a $0 < r < 2α / c 2$ . En choisissant un tel $r$ et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique $u\in K$ tel que $u=p_K\big(rf-rA(u)+u\big)$ , ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur $\mathcal{H}$ . La coercivité implique que $a$ est définie et positive. On note par $\langle.,.\rangle_a$ ce produit scalaire qui est défini par :

$\forall x,y \in \mathcal{H} \quad \langle x,y\rangle_a = a(x,y)$

Par application du [[théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert, procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique $f\in\mathcal{H}$ tel que $L(v)=\langle f,v\rangle_a$ pour tout $v\in\mathcal{H}$ .

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

$\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \langle f-u,v-u\rangle_a \leq 0$

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

$\exists!\,u\in K \quad u=p^a_K(f)$

où $p^a_K$ est l'opérateur de projection sur $K$ utilisant le produit scalaire défini par $a$ . La relation (1) est donc équivalente à :

$\langle f-u,f-u\rangle_a = \min_{v\in K}\ \langle f-v,f-v\rangle_a$

soit encore

$\langle u,u\rangle_a - 2\langle f,u\rangle_a = \min_{v\in K}\left( \langle v,v\rangle_a - 2\langle f,v\rangle_a \right)$

ou bien

$\frac{1}{2}a(u,u) - L(u) = \min_{v\in K}\left( \frac{1}{2}a(v,v) - L(v) \right)$ ,

ce qui conclut la démonstration.

Applications

Ce théorème sert notamment en mécanique où $I$ est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les théorèmes énergétiques de mécanique.
Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de solutions faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
Voir un exemple d'application au problème de l'obstacle

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