- Théorème de stampacchia
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Théorème de Stampacchia
Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle.
Sommaire
Énoncé
Soient
un espace de Hilbert muni de son produit scalaire noté
- K une partie convexe fermée non vide de
- a(.,.) une forme bilinéaire qui soit
- continue sur
:
0 \quad \forall u,v\in \mathcal{H} \quad \|a(u,v)\|\leq c\|u\|\|v\|\quad" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/50/24e44db97dbf0d475ec7bf0d14199f25.png" border="0">
- coercive sur
:
0 \quad \forall u\in\mathcal{H} \quad \ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2 \quad" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/49/159ffaa0ad69bdd09147b6026ffb6a84.png" border="0">
- continue sur
- L(.) une forme linéaire continue sur
Sous ces conditions, il existe un unique u de K tel que
Si de plus la forme bilinéaire a est symétrique, alors ce même u est l'unique élément de K qui minimise la fonctionnelle
définie par
pour tout v de K, en particulier :
Démonstration
Cas général
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique
tel que pour tout
,
.
Pour tout
, l'application
est une forme linéaire continue sur
et donc de la même manière, il existe un unique élément
tel que
pour tout
. On montre facilement que l'opérateur A ainsi défini est un endomorphisme linéaire sur
.
Par la continuité de a, il existe une constante c > 0 telle que
, d'où
Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente
Pour tout réel r strictement positif, c'est également équivalent à
0 \quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/102/f0f4e7c0fb8e9c6040f0b3cdfa8a6a7c.png" border="0">
En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente
0 \quad u=p_K(rf-rA(u)+u)" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/54/6ca416dc02042b8252121a0c80a9a8dd.png" border="0">
où pK est l'opérateur de projection sur K. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer qu'il existe un unique
qui vérifie l'équation de point fixe u = P(u) où l'application
est définie par
.
Pour cela, montrons que P est une application contractante. Soient x et y deux éléments de K. Comme l'opérateur de projection pK est 1-lipschitzienne, on a
D'où
Comme la forme bilinéaire a est coercive, on a
. Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité
. Par conséquent,
L'application P est contractante si et seulement si 1 + r2c2 − 2rα < 1, c'est-à-dire si on a
. En choisissant un tel r et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique
tel que
, ce qui conclut la démonstration.
Cas symétrique
Si la forme bilinéaire a est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur
. La coercivité implique que a est définie et positive. On note par
ce produit scalaire qui est défini par :
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique
tel que
pour tout
.
La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :
En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :
où
est l'opérateur de projection sur K utilisant le produit scalaire défini par a. La relation (1) est donc équivalente à :
soit encore
ou bien
,
ce qui conclut la démonstration.
Applications
- Ce théorème sert notamment en mécanique où I est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les théorèmes énergétiques de mécanique.
- Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de solutions faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
- Le théorème de Stampacchia permet aussi de déduire simplement le Théorème de Lax-Milgram.
- Voir un exemple d'application au problème de l'obstacle
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