Théorème de stampacchia

Théorème de stampacchia

Théorème de Stampacchia

Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle.

Sommaire

Énoncé

Soient

Sous ces conditions, il existe un unique u de K tel que

(1) \quad \forall\ v\in K \quad a(u,v-u)\geq L(v-u) \quad

Si de plus la forme bilinéaire a est symétrique, alors ce même u est l'unique élément de K qui minimise la fonctionnelle I:\mathcal{H}\rightarrow\R définie par I(v)=\tfrac{1}{2} a(v,v)-L(v) pour tout v de K, en particulier :

(2) \quad \exists!\ u\in K \quad I(u) = \min_{v\in K} I(v)

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique f\in\mathcal{H} tel que pour tout v\in\mathcal{H}, L(v)=\langle f,v\rangle.

Pour tout u\in\mathcal{H}, l'application v\mapsto a(u,v) est une forme linéaire continue sur \mathcal{H} et donc de la même manière, il existe un unique élément A(u)\in\mathcal{H} tel que a(u,v)=\langle A(u),v\rangle pour tout v\in\mathcal{H}. On montre facilement que l'opérateur A ainsi défini est un endomorphisme linéaire sur \mathcal{H}.

Par la continuité de a, il existe une constante c > 0 telle que \|A(u)\|^2=\langle A(u),A(u)\rangle=a(u,A(u))\leq c\|A(u)\|\|u\|, d'où

\qquad (3) \quad \forall\ u\in \mathcal{H} \quad \|A(u)\|\leq c\|u\|

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0

Pour tout réel r strictement positif, c'est également équivalent à

\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \forall r>0 \quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente

\exists!\,u\in K \quad \forall r>0 \quad u=p_K(rf-rA(u)+u)

pK est l'opérateur de projection sur K. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer qu'il existe un unique u\in K qui vérifie l'équation de point fixe u = P(u) où l'application P:K\rightarrow K est définie par P(v)=p_K\big(rf-rA(v)+v\big).

Pour cela, montrons que P est une application contractante. Soient x et y deux éléments de K. Comme l'opérateur de projection pK est 1-lipschitzienne, on a

\|P(x)-P(y)\| \leq \|x-y-rA(x-y)\|

D'où

\|P(x)-P(y)\|^2 \leq \|x-y\|^2 + r^2\|A(x-y)\|^2 - 2r\langle x-y,A(x-y)\rangle

Comme la forme bilinéaire a est coercive, on a \langle A(x-y),x-y\rangle=a(x-y,x-y) \geq \alpha\|x-y\|^2. Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité \|A(x-y)\|\leq c\|x-y\|. Par conséquent,

\|P(x)-P(y)\|^2 \leq \big(1+r^2c^2-2r\alpha\big)\|x-y\|^2

L'application P est contractante si et seulement si 1 + r2c2 − 2rα < 1, c'est-à-dire si on a 0 < r < \tfrac{2\alpha}{c^2}. En choisissant un tel r et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique u\in K tel que u=p_K\big(rf-rA(u)+u\big), ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire a est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur \mathcal{H}. La coercivité implique que a est définie et positive. On note par \langle.,.\rangle_a ce produit scalaire qui est défini par :

\forall x,y \in \mathcal{H} \quad \langle x,y\rangle_a = a(x,y)

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique f\in\mathcal{H} tel que L(v)=\langle f,v\rangle_a pour tout v\in\mathcal{H}.

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \langle f-u,v-u\rangle_a \leq 0

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

\exists!\,u\in K \quad u=p^a_K(f)

p^a_K est l'opérateur de projection sur K utilisant le produit scalaire défini par a. La relation (1) est donc équivalente à :

\langle f-u,f-u\rangle_a = \min_{v\in K}\ \langle f-v,f-v\rangle_a

soit encore

\langle u,u\rangle_a - 2\langle f,u\rangle_a = \min_{v\in K}\left( \langle v,v\rangle_a - 2\langle f,v\rangle_a \right)

ou bien

\frac{1}{2}a(u,u) - L(u) = \min_{v\in K}\left( \frac{1}{2}a(v,v) - L(v) \right),

ce qui conclut la démonstration.

Applications

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