- Théorème de riesz
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Théorème de Riesz
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des espaces vectoriels normés réels ou complexes, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité, une propriété topologique, et celle de dimension, une notion algébrique. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz.
Sommaire
Énoncé
Plus précisément, le théorème de Riesz s'énonce de la façon suivante :
- Théorème
- Soit E un espace vectoriel normé réel ou complexe. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
Contre-exemples sur d'autres corps
La droite réelle est un espace vectoriel rationnel de dimension infinie et normé par la valeur absolue usuelle, mais sa boule unité fermée est compacte, toute partie bornée est relativement compacte et l'ensemble est localement compact.
Inversement, le corps des rationnels constitue un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même mais aucun voisinage de l'origine n'est compact.
L'espace des suites à valeurs dans le corps fini , muni de la norme constante égale à 1 en dehors de la suite nulle, est localement compact (car discret) mais de dimension infinie et sa boule unité fermée n'est pas compacte.
Démonstration
Sens direct
Dans ce sens, il s'agit d'un corollaire théorème de Bolzano-Weierstrass. Si E est de dimension finie, tout fermé borné dans E est compact.
Sens réciproque
En utilisant la propriété de Borel-Lebesgue
Pour la réciproque, il est commode d'utiliser la caractérisation des compacts de Borel-Lebesgue.
En effet, . Donc si B est compacte, il existe un recouvrement fini de B par des boules ouvertes de centre xi et de rayon 1/2 : .
Soit alors . Montrons que B est incluse dans F.
Soit , il existe tel que et donc .
Montrons maintenant que .
Si donc 2x = f + y où et d'où , et enfin .
Par récurrence sur n, on a alors . Soit alors , il existe tel que . Donc , et . Mais F est un espace vectoriel (réel ou complexe) de dimension finie, donc est fermé : donc : E est de dimension finie.
Sans utiliser la propriété de Borel-Lebesgue
Dans le cas d'un espace métrique on peut définir la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass, donnons une démonstration de la réciproque plus élémentaire.
Propos heuristiques
On considère un espace vectoriel E de dimension infinie. Typiquement, on prend , le -espace vectoriel des suites (infinies dénombrables) de nombres réels.
On cherche dans cet espace E une suite (xn) qui n'admette aucune sous-suite convergente, c'est-à-dire qui contredise la propriété de Bolzano-Weierstrass, et qui ainsi démontre que notre espace E n'est pas compact.
La première suite qui vient à l'esprit, c'est la base canonique de E, c'est-à-dire la base formée des vecteurs , où le 1 est à la i-ième place.
Et, effectivement, si est un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension infinie, si est une base orthonormée de E et si est une suite injective à coefficients dans et à valeurs dans I, alors, la suite est une suite qui n'a aucune valeur d'adhérence.
DémonstrationEn effet, dans le cas contraire (raisonnement par l'absurde), on pourrait supposer, quitte à extraire une sous-suite que la suite (fj)j converge vers a.
On note tout d'abord que a est non-nul car tous les fj sont de norme 1, donc a aussi.
Il existe donc un vecteur de base tel que est non-nul.
Pourtant, à cause du caractère orthonormé de la base qu'on a choisie, à partir d'un certain rang, est nul. C'est absurde.
Il nous faut donc trouver l'analogue d'une base orthonormée dans un espace vectoriel E qui n'a pas de produit scalaire. Désormais, est un ou -EVN de dimension infinie.
L'analogue de l'orthonormalisation de Schmidt
On se donne une famille libre . On va construire une suite (ei) qui sera une pseudo-orthonormalisée de Schmidt de (xi).
D'abord, on pose , de telle sorte que | | e0 | | = 1.
Puis, pour e1, on procède ainsi. On note E0 l'espace vectoriel de dimension finie engendré par e0 ; c'est de plus un fermé de E. En particulier, il existe un point tel que . Dans le cas des espaces préhilbertiens, c'est normalement le projeté orthogonal de x1 qui joue le rôle de y0. S'inspirant alors de l'orthonormalisation, on pose .
On itère ensuite la construction : E1 est engendré par e0 et e1 ; y2 réalise la distance de x2 à E1, etc.
La démonstration
On montre alors que la suite en contredit la propriété de Bolzano-Weierstrass. Par l'absurde, supposons que la suite en admette une valeur d'adhérence a.
Pour aboutir à une contradiction, rappelons quelques propriétés de la distance à un sous-espace vectoriel : si F est un sous-espace vectoriel de l'EVN E et si , alors, pour tout et tout λ dans ou , on a :
- d(x + f,F) = d(x,F)
- d(λx,F) = λd(x,F)
On a donc .
Or, par définition de ce qu'est une valeur d'adhérence, il existe deux indices n < m, tels que et . L'inégalité triangulaire donne : ce qui est absurde puisque .
Voir aussi
- Le théorème de représentation de Riesz, un autre théorème de Riesz qui concerne les formes linéaires continues dans un espace de Hilbert.
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