Coercivite

Coercivite

Coercivité

Définitions

Une forme bilinéaire est dite coercive sur \mathcal{H} (certains auteurs disent plutôt \mathcal{H}-elliptique) : \exists\alpha>0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2 \quad

Une fonction f définie sur un espace normé X est dite coercive si \lim_{\| x\|\to+\infty}f(x)=+\infty.

Lien entre les définitions

Dans le cas ou a est une forme bilinéaire, en posant f(u) = a(u,u) on a équivalence entre la coercivité de a et celle de f. En effet, \lim_{\| x\|\to\infty}f(x)=+\infty implique qu'il existe R > 0 tel que \|x\|\geq R\Rightarrow f(x)\geq 1. Ainsi,

\left(\frac{R}{\|u\|}\right)^2a(u,u)=a(\frac{R}{\|u\|}u,\frac{R}{\|u\|}u)=f(\frac{R}{\|u\|}u)\geq 1

et

a(u,u)\geq\left(\frac{\|u\|}{R}\right)^2.


Commentaires

Cette notion intervient entre autres dans le théorème de Lax-Milgram et la théorie des opérateurs elliptiques, accessoirement dans la méthode des éléments finis.

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