Réduction d'endomorphismes

Réduction d'endomorphisme

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, la réduction d'endomorphisme est une technique mathématique qui a pour objectif d'exprimer des matrices et des endomorphismes sous une forme plus simple, notamment pour faciliter les calculs. Cela consiste essentiellement à trouver une base de l'espace vectoriel qui permet d'exprimer plus simplement l'endomorphisme dans cette nouvelle base, et à décomposer l'espace en sous-espace vectoriel stable par l'endomorphisme.

Motivation

Le concept de réduction

La technique de réduction en algèbre est fréquente, elle consiste à réduire un concept, en sous-concepts le plus simple possible et permettant de reconstruire le cas général. Dans le cas des endomorphismes (c’est-à-dire des applications linéaires d'un espace vectoriel dans lui-même) la technique consiste à décomposer l'espace vectoriel en espaces plus petits. Cette réduction doit posséder six propriétés :

L'endomorphisme définit par restriction un nouvel endomorphisme sur chacun des sous-espaces (c'est-à-dire chacun est un sous-espace vectoriel stable), ainsi la petite structure est une entité intrinsèque avec sa propre cohérence.
Les intersections des sous-espaces pris deux à deux sont réduites au vecteur nul, ce qui assure l'indépendance de chacune des petites structures.
Elles engendrent l'espace entier, ce qui offre l'exhaustivité de l'analyse.
La réduction décrit l'intégralité de la structure originelle.
Elle est maximale, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de décomposition en éléments plus petits et donc plus simple.
Elle est aussi simple que possible, c'est-à-dire que pour chacune des sous-structures il n'existe pas de représentation plus élémentaire.

Hélas, elle n'est pas unique.

Endomorphisme et vecteur propre

La structure d'espace vectoriel sur lequel s'applique l'endomorphisme possède des propriétés différentes selon les cas. Dans l'hypothèse où la dimension est finie, alors la structure du corps détermine l'essentiel des propriétés de réduction. Une approche très générale, pour établir la relation entre la structure du corps et la réduction des endomorphismes consiste à analyser la structure de l'anneau des polynômes associée au corps. Cette approche est analysée dans l'article polynôme d'endomorphisme. Le cas le plus simple est celui où le corps est dit algébriquement clos, c'est-à-dire que tout polynôme admet au moins une racine. C'est le cas des nombres complexes. Alors la réduction est particulièrement efficace. La notion de valeur propre devient le bon outil dans ce contexte. En fait, l'analyse du polynôme minimal montre qu'il existe un cas, générique du point de vue topologique, mais qui n'est pas le cas général, où il existe une base de vecteurs propres. On parle alors de diagonalisation.

Réduction de Jordan

Ce qui empêche que le cas générique évoqué ci-dessus, celui de la diagonalisation, soit le cas général, ce sont essentiellement les endomorphismes nilpotents. Le cas général, comprenant cette obstruction due aux endomorphismes nilpotents, a été analysé par le mathématicien Camille Jordan. On montre que tout endomorphisme en dimension finie sur un corps algébriquement clos se décompose en sous-espaces caractéristiques où l'endomorphisme est la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent.

Endomorphisme et distance

Il existe un cas particulier d'espace vectoriel : ceux qui sont munis d'une distance compatible avec la structure vectorielle. Un cas important est celui où la distance est euclidienne (ou hermitienne dans le cas complexe). L'ajout de cette structure offre une nouvelle voie d'accès à la problématique de la réduction d'endomorphisme. S'il est compatible avec la distance, c'est-à-dire s'il est normal, alors une nouvelle approche est possible. Dans ce contexte, l'exception nilpotente est absente. La réduction est plus simple et les techniques algorithmiques associées plus rapides.

Analyse fonctionnelle et opérateur linéaire

Ce cas guide Hilbert dans une nouvelle direction. La généralisation de l'approche aux opérateurs différentiels. Ces opérateurs comme le laplacien ou le d'alembertien sont la clé d'importants problèmes en physique. Ils peuvent se représenter comme une équation linéaire, mais dans un espace de dimension infinie. Si l'approche générale de Jordan est vouée à l'échec car les polynômes ne s'appliquent pas dans ce contexte, en revanche ces opérateurs présentent les bonnes propriétés de compatibilité vis-à-vis d'une distance qu'il est possible de définir sur l'espace. Hilbert, propose une approche novatrice, consistant à étudier les propriétés géométriques de ces espaces de dimension infinie, au lieu de se limiter à une analyse d'un point particulier: la fonction solution de l'équation. Cette approche ouvre une nouvelle branche des mathématiques devenue essentielle au siècle dernier: l'analyse fonctionnelle. La physique moderne, aussi bien sous sa forme quantique que sous sa forme relativiste, utilise largement cette vision des choses.

Histoire

Cas général de la dimension finie

Réduction et sous-espaces propres

Article détaillé : Valeur propre (synthèse).

Il existe un premier candidat naturel pour une réduction, elle correspond à une décomposition en sous-espaces propres. Une présentation complète du concept est proposé dans l'article détaillé.

En résumé, on peut dire qu'un vecteur propre est un vecteur non nul dont l'image par l'endomorphisme est colinéaire au vecteur d'origine. Le rapport de colinéarité est appelé valeur propre. L'ensemble des vecteurs propres pour une valeur propre donnée associée au vecteur nul forme un sous-espace vectoriel appelé sous-espace propre.

Une décomposition en sous-espaces propres représente donc un grand nombre des propriétés recherchées pour une réduction.

Les espaces propres sont stables par l'endomorphisme.
L'intersection de deux sous-espaces propres est réduite au vecteur nul.
La restriction de l'endomorphisme à un sous-espace propre est une homothétie, c'est-à-dire une application qui à un vecteur x associe le vecteur λ.x. C'est donc une application particulièrement simple.

Les propriétés recherchées dans la réduction sont presque rassemblées.

Démonstration

Les sous-espaces propres sont des sous-espaces vectoriels stables par l'endomorphisme.
L'intersection de deux sous-espaces propres est réduit au vecteurs nul.
La restriction de l'endomorphisme à un espace propre est une homothétie.

L'article Valeur propre dans la boîte déroulante sur les propriétés des vecteurs propres en dimension finie montre que les sous-espaces propres disposent d'une structure de sous-espace vectoriel stable par l'endomorphisme et qu'ils sont en somme directe. Les deux premières propositions sont donc démontrées. La troisième est une conséquence immédiate de la définition d'un vecteur propre.

Diagonalisation

Fig. 4. Endomorphisme diagonalisable en dimension 3 sur les nombres réels: un cube est transformé en parallélépipède.

Article détaillé : Diagonalisation.

Il suffirait en effet d'une propriété supplémentaire pour permettre une réduction à l'aide de cette approche: que la somme directe des sous-espaces propres est l'espace vectoriel entier. Cela signifie qu'il existe une base B de vecteurs propres. Les deux propriétés manquantes sont alors réunies, la réduction est alors composée de sous-espaces de dimension 1, ceux qui sont engendrés par les vecteurs de la base. Cette décomposition est maximale car il n'existe pas de décomposition en somme directe de sous-espaces non réduits au vecteur nul qui contiennent plus de sous-espaces que la dimension de l'espace.

Le fait que B soit une base garantit que la décomposition engendre bien l'espace entier.

En termes plus formels, si $u$ est un endomorphisme d'un $\mathbb K$ -espace vectoriel de dimension finie égale à n, où n est un entier strictement positif. Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes. Elles fournissent la définition d'un premier cas de réduction pour $u$ .

$u$ est diagonalisable
Il existe une base de vecteurs propres.
La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace entier.
La somme des sous-espaces propres est l'espace entier.
Toute représentation matricielle de u est diagonalisable.

La démonstration se trouve dans l'article Diagonalisation, sauf pour la dernière équivalence qui est traitée dans Matrice diagonale.

Diagonalisation et polynôme caractéristique

Article détaillé : Polynôme caractéristique.

Il existe d'autres propriétés importantes associées à cette définition. Elles proviennent essentiellement d'une approche polynômiale sur l'endomorphisme. Le polynôme caractéristique est, en dimension finie, un outil puissant d'analyse des endomorphismes. Il est défini comme le déterminant suivant: det(u -λ.I ). Comme le déterminant s'annule si et seulement si le noyau de l'application linéaire associée n'est pas réduit au vecteur nul, le polynôme possède comme racines les valeurs propres de l'endomorphisme. Trois propriétés analysent la relation entre diagonalisation et polynômes caractéristiques.

Si le polynôme caractéristique possède n racines distinctes alors l'endomorphisme est diagonalisable.

C'est une condition suffisante, mais non nécessaire. Considérons le cas d'une homothétie dans le cas où n n'est pas égal à 1. Le polynôme caractéristique ne possède qu'une racine multiple. Pourtant l'endomorphisme est clairement diagonalisable car toute base est constituée de vecteurs propres uniquement. Il existe de plus la condition nécessaire suivante:

Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors le polynôme caractéristique est scindé.

Dire que le polynôme caractéristique P(X) est scindé signifie qu'il peut s'écrire comme puissance de monômes:

$P(X)=\prod_i -(X-\lambda_i)^{n_i}\;$

Pour l'obtention d'une condition nécessaire et suffisante à partir du polynôme caractéristique, une définition supplémentaire est nécessaire.

l' ordre de multiplicité algébrique d'une valeur propre est l'ordre de multiplicité de la racine dans le polynôme caractéristique.

L'ordre de multiplicité algébrique d'une valeur propre λ correspond donc à la puissance du monôme (X-λ) dans le polynôme caractéristique. L'adjonction de cette définition permet l'expression d'une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité.

L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si, tout sous-espace propre possède une dimension égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée.

Démonstration

Si le polynôme caractéristique possède n racines distinctes, alors l'endomorphisme est diagonalisable.

Si le polynôme caractéristique possède n racines distinctes alors il existe n vecteurs propres aux valeurs propres associées distinctes. Or l'article sur les valeurs propres nous apprend dans la boîte déroulante des propriétés supplémentaires des propriétés des valeurs et vecteurs propres' dans le cas de la dimension finie, qu'ils sont linéairement indépendants. Or une famille libre de cardinal égal à la dimension de l'espace forme une base. Ce qui démontre la proposition.

L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si, tout sous-espace propre possède une dimension égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée.

Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors il existe une représentation matricielle diagonale. Le calcul du polynôme caractéristique à l'aide d'une telle représentation montre immédiatement que la dimension d'un sous-espace propre est égale à la multiplicité algébrique du polynôme caractéristique.

Réciproquement, si la multiplicité algébrique de la valeur propre est égale à la dimension du sous-espace propre associé, alors la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale au degré du polynôme et donc à la dimension de l'espace entier. Le paragraphe précédent montre que cela prouve le caractère diagonalisable de l'endomorphisme.

Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors le polynôme caractéristique est scindé.

C'est une conséquence directe de la proposition précédente.

Endomorphisme diagonalisable et polynôme minimal

Article détaillé: Polynôme d'endomorphisme

Si l'approche par le polynôme caractéristique offre des premiers résultats, elle n'est néanmoins pas intégralement satisfaisante. En effet, le calcul du polynôme est souvent lourd, et la recherche de la dimension des sous-espaces propres n'est pas simple.

Le concept de polynôme d'endomorphisme propose un autre candidat, souvent plus pertinent pour l'analyse des applications linéaires en dimension finie. C'est le polynôme minimal. À l'instar du polynôme caractéristique, ses racines sont aussi les valeurs propres. Le polynôme minimal est souvent plus appliqué. Enfin, le polynôme minimal dispose de propriétés théoriques fortes, que l'on trouve dans l'article Polynôme d'endomorphisme. On y trouve par exemple la condition nécessaire et suffisante suivante:

Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé sur K et à racines simples.

Cas où le polynôme minimal est scindé

Réduction et endomorphisme nilpotent

Article détaillé: Endomorphisme nilpotent

Même dans le cas où le polynôme minimal est scindé, il existe au moins un cas où la diagonalisation est impossible, celui des endomorphismes nilpotents. L'unique valeur propre est 0, donc l'unique sous-espace propre est son noyau. En conséquence le seul endomorphisme nilpotent diagonalisable est l'endomorphisme nul.

Les endomorphismes nilpotents disposent néanmoins d'une réduction traitée et démontrée dans l'article Endomorphisme nilpotent dans le paragraphe nilpotence et réduction en dimension finie.

Il existe une suite $(E_i)\;$ de sous-espaces vectoriels stables par u, non réduits au vecteur nul, qui engendrent par somme directe l'espace tout entier, et telle que, pour tout i, il existe un vecteur $x_i\;$ non nul d'indice $p_i\;$ pour lequel la famille $(x_i, u(x_i),...u^{p_i-1}(x_i))\;$ forme une base de $E_i\;$ . La juxtaposition de ces familles forme une base de l'espace entier. On appelle ces sous-espaces des espaces de Jordan.

Nous y trouvons bien toutes les caractéristiques d'une réduction, une décomposition en somme directe de sous-espaces stables qui engendre l'espace entier. Cette décomposition est bien maximale comme le montre l'article précédent, et pour un sous-espace, il est difficile de trouver une représentation plus simple.

Décomposition de Dunford

Article détaillé : Décomposition de Dunford.

Si le cas des endomorphismes nilpotents apparaît dans un premier temps comme une exception au cas diagonalisable, la théorie des polynômes d'endomorphismes nous montre que cette exception est unique. Plus précisément, dans le cas de la dimension finie et si le polynôme minimal est scindé, alors la proposition suivante, connue sous le nom de décomposition de Dunford est vraie:

L'endomorphisme u est la somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent qui commutent entre eux.

Démonstration dans Polynôme d'endomorphisme

Dans le contexte du théorème, le polynôme minimal $(\chi_i)\;$ s'écrit sous la forme suivante:

$\chi [X]=\prod_i (X-\lambda_i)^{n_i}\;$

Or une propriété démontrée dans l'article sur les polynômes d'endomorphismes dans le paragraphe sur les polynômes minimaux indique que la suite des noyaux $E_i=Ker \chi_i[u]\;$ est une décomposition en somme directe de l'espace E de sous-espaces stables par l'endomorphisme. Ces noyaux s'appellent les espaces caractéristiques. Sur chacun de ces sous-espaces la restriction de u est la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent. Ces restrictions possèdent donc une représentation simple.

Les quatre propriétés suivantes résument l'essentiel des propriétés associées à la décomposition de Dunford:

L'espace E est somme directe de ses espaces caractéristiques.
Les sous-espaces caractéristiques sont non réduits au vecteur nul et stables par l'endomorphisme. La restriction de l'endomorphisme à $E_i\;$ est la somme d'une homothétie de rapport $\lambda_i \;$ et d'un endomorphisme nilpotent d'ordre $n_i\;$ .
La suite des $(\lambda_i) \;$ est la suite des valeurs propres. Les sous-espaces propres associés sont inclus dans les sous-espaces caractéristiques.
Les projecteurs sur les espaces caractéristiques ainsi que les endomorphismes diagonalisables et nilpotents s'expriment sous forme de polynômes d'endomorphisme de u.

Démonstration dans Décomposition de Dunford

L'hypothèse sur le fait que le polynôme minimal soit scindé représente une contrainte souvent faible. La clôture algébrique des nombres complexes garantit déjà la généralité de la condition. Pour le cas des nombres réels, il est toujours possible d'étendre l'espace vectoriel aux corps des complexes pour la recherche des solutions, puis dans un deuxième temps de ne choisir que des solutions réelles. Pour les applications, cette démarche est souvent utilisée par les physiciens.

Réduction de Jordan

Article détaillé : Réduction de Jordan.

La décomposition de Dunford n'est néanmoins pas une réduction. En effet, cette décomposition n'est pas maximale. Un sous-espace caractéristique se décompose encore.

Sur un sous-espace caractéristique, la restriction de l'endomorphisme s'exprime comme la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent. Or tout sous-espace est stable par une homothétie. Il est donc possible de choisir la décomposition que l'on souhaite pour les sous-espaces caractéristiques. La réduction des endomorphismes nilpotents nous fournit une décomposition en sous-espaces stables maximales à l'aide de la définition des espaces de Jordan.

Un espace de Jordan est un sous-espace vectoriel stable par l'endomorphisme et disposant d'une base (e₁, e₂, e_p) tel que:

$\exists \lambda \;\forall i \in [1,p-1]\; u(e_i)=\lambda e_i + e_{i+1}\quad et \quad u(e_p)=\lambda e_p$

Cette définition nous permet alors de décrire la Réduction de Jordan pour tout endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension finie disposant d'un polynôme minimal scindé:

L'espace vectoriel est somme directe d'espaces de Jordan. Il n'existe aucune décomposition en somme directe de l'espace vectoriel non réduit au vecteur nul et stable par u comportant plus de composantes que celle de Jordan.

Cas du corps des réels

Cas d'un corps quelconque

Utilisation de la réduction en dimension finie

Réduction et forme bilinéaire en dimension finie

Réduction et analyse fonctionnelle

Sources

Liens internes

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète
Sous-espace	Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

Références

Serge Lang, Algèbre, Dunod ;
Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle Théorie et applications, Masson ;
Walter Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill Science.

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