Représentation induite d'un groupe fini

En mathématiques une représentation induite est une représentation d'un groupe canoniquement associée à une représentation de l'un de ses sous-groupes. L'induction est adjointe à gauche de la restriction (en). Cette propriété intervient dans la formule de réciprocité de Frobenius.

Cet article traite le cas des groupes finis.

Définitions et exemples

Dans tout l'article, G désigne un groupe fini, H un sous-groupe de G et θ une représentation de H dans un espace vectoriel de dimension finie W sur un corps K. G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H.

Définitions

• La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe H de G est la représentation de G, notée ρ=Ind_H^Gθ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que :
  • θ est une sous-représentation de la restriction Res_H^G(ρ) de ρ à H ;
  • pour toute représentation σ de G, le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations : .

Son unicité (à isomorphisme près) est garantie par cette propriété universelle d'adjonction, et son existence est assurée par la construction ci-dessous.

• Si ψ désigne le caractère de θ, celui de ρ dépend uniquement de ψ. Il est donc appelé caractère induit par ψ et noté Ind(ψ) ou encore Ind_H^G(ψ) si un risque d'ambiguïté existe.

Construction

Soit W le K[H]-module sous-jacent à la représentation θ de H, et soit ρ la représentation de G associée au K[G]-module

Alors ρ=Ind_H^Gθ, puisque :

• W=K[H]⊗_K[H]W est bien un sous-K[H]-module de V ;
• pour tout K[G]-module E, on a un isomorphisme naturel :

qui peut se « déduire de la formule Hom(A,Hom(B,C))=Hom(A⊗B,C) » (Serre, p. II - 7) ou se détailler de façon plus élémentaire (Serre, p. II - 6) en vérifiant la bijectivité l'application linéaire qui, à tout G-morphisme f de V dans E, associe le H-morphisme restriction de f à W.

Exemples

• Si H=G, alors Ind_H^Gθ=θ.
• Si θ est la représentation régulière de H, alors Ind_H^Gθ est la représentation régulière de G.
• Les deux articles Représentations du groupe symétrique d'indice trois et Représentations du groupe des quaternions utilisent les représentations induites pour construire une représentation irréductible.

Propriétés

Premières propriétés

• Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à Ind_H^Gθ si et seulement si :
  • W est un sous- K[H]-module de V ;
  • V=⊕_c∊G/H cW, où la notation cW signifie : ρ_s(W) pour n'importe quel élément s de la classe à gauche c. (Un tel ρ_s(W) ne dépend pas du choix de s dans c puisque si tH=c=sH alors t est de la forme sh pour un certain élément h de H, si bien que ρ_t(W)=ρ_s(ρ_h(W))=ρ_s(W).)
• Pour toute sous-représentation θ' de θ, Ind_H^G(θ') est une sous-représentation de Ind_H^G(θ).
• Pour toutes représentations θ₁ et θ₂ de H, on a : Ind_H^G(θ₁⊕θ₂)=(Ind_H^Gθ₁)⊕(Ind_H^Gθ₂).

Caractère

• Le caractère χ de la représentation (V,ρ)=Ind_H^Gθ s'exprime en fonction du caractère ψ de (W,θ) par la formule suivante, dans laquelle C désigne une transversale à gauche de H dans G, et h l'ordre de H :

Démonstration

L'élement ρ_t définit un automorphisme de V qui permute les ρ_cW, donc sa trace χ(t)=Tr(ρ_t) est la somme des traces des restrictions de cet automorphisme aux ρ_cW qu'il laisse invariants, ce qui équivaut pour c à la relation c^-1tc ∊ H. D'où :

Or si c^-1tc ∊ H, on a :

ce qui démontre la première formule.

Pour la deuxième (qui n'a de sens que si h est inversible dans K) il suffit de remarquer que pour tout s∊cH, s^-1ts est conjugué de c^-1tc par un élément de H, et d'utiliser que ψ est centrale.

On étend cette formule aux fonctions centrales par la définition suivante :

• Soient f une fonction centrale sur H à valeurs dans K et C une transversale à gauche de H dans G, alors la fonction Ind_H^G (f ) est définie par :

Réciprocité de Frobenius

On suppose que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G. La formule de réciprocité de Frobenius s'exprime alors par :

• Pour tout caractère ψ d'une représentation de H et tout caractère χ d'une représentation de G, les deux scalaires suivants sont égaux :

Cette formule est une conséquence de la propriété d'adjonction qui définit la représentation induite. Elle s'étend linéairement aux fonctions centrales.

Critère d'irréductibilité de Mackey

On suppose que la caractéristique de K est nulle et que le polynôme X^e - 1, où e désigne l'exposant de G, est scindé sur K. Ainsi, les caractères irréductibles de G forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeurs dans K et toute représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère. On peut prendre par exemple pour K le corps des nombres complexes.

Une double application de la formule de réciprocité de Frobenius décrite ci-dessus permet, sous ces hypothèses, de démontrer le cas particulier suivant du critère d'irréductibilité de Mackey. Deux définitions sont nécessaires pour l'exprimer. Pour tout élément s de G, H_s désigne ici l'intersection de H avec son conjugué par s et θ^s désigne la représentation sur W de ce sous-groupe H_s = sHs^-1 ∩ H définie par :

Le critère s'énonce de la manière suivante :

• La représentation Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et pour tout s ∉ H, la restriction de θ à H_s est disjointe de θ^s.

On en déduit le corollaire suivant :

• Si H est normal dans G, Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et n'est isomorphe à aucune des θ^s, pour s ∉ H.

Notes et références

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions] 
• (en) Marshall Hall, Jr. (en), The theory of groups [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. VIII

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