Nombre normal

Nombre normal: Pour l’article homonyme, voir nombre normal (informatique) (en), i.e. nombre qui est dans un intervalle normal de format en virgule flottante.

En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel tel que la fréquence d'apparition de tout n-uplet dans la suite de ses « décimales » dans toute base est équirépartie^[1].

Sommaire

1 Définition

2 Théorème du nombre normal

3 Propriétés et exemples

4 Note et références

4.1 Note

4.2 Références

5 Voir aussi

Définition

Supposons B un ensemble fini de cardinal b>1 et x un nombre réel. Si s est une suite finie de chiffres en base B, nous écrivons N(s,n) pour le nombre d'apparitions de la suite s parmi les n premiers chiffres de x. Le nombre x est appelé normal en base B si
$\forall k>0, \forall s \in B^k,\quad \lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n}\ =\ \frac{1}{b^{k}}$
Le nombre x est dit nombre normal (ou quelquefois nombre absolument normal) s'il est normal dans toute base. S'il n'est normal qu'en base b, on dit que c'est un nombre normal en base b.

Théorème du nombre normal

Le concept de nombre normal fut introduit par Émile Borel en 1909. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, il démontra le théorème du nombre normal: presque tous les nombres réels sont normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non-normaux est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue).

Théorème — Dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}$ , presque tout nombre (au sens de la mesure de Lebesgue) est normal en toute base.

Démonstration

Soit ω un nombre appartenant à l'intervalle [0,1[ et soit b un entier supérieur ou égal à 2. Notons $\scriptstyle\ A=\{0,..,b-1\}.\$ Alors ω possède un unique développement propre en base b : il existe une unique écriture de ω sous la forme :
$\omega=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\varepsilon_{n}( \omega)}{b^{n}}},$
tel que, pour tout n, $\scriptstyle\ \varepsilon_{n}( \omega) \in A,\$ et tel que la suite $\scriptstyle\ \left(\varepsilon_{n}( \omega)\right)_{n\ge 1}\$ ne se termine pas par une suite infinie de chiffres b-1. On se donne un "mot"^[2] $\scriptstyle\ m=(m_{1},...,m_{k}) \in A^{k},\$ et on s'intéresse à la fréquence d'apparition de ce mot dans la suite des n premiers chiffres du développement de ω en base b.

On se place sur l'espace probabilisé $\scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb P\right), \$ où $\scriptstyle\ \Omega=[0,1[,\$ où $\scriptstyle\ \mathcal A$ désigne la tribu borélienne de $\scriptstyle\ \Omega,\$ et où $\scriptstyle\ \mathbb P\$ est la mesure de Lebesgue restreinte à $\scriptstyle\ \mathcal A.\$ Alors, sous $\scriptstyle\ \mathbb P,\$ la famille $\scriptstyle\ \left(\varepsilon_{n}\right)_{n\ge 1}$ est une famille de variables aléatoires uniformes sur A et indépendantes, c'est-à-dire que, pour toute partie finie B de $\scriptstyle\ \mathbb N,\$
$\mathbb P\left(\forall i\in B, \quad\varepsilon_{i}=m_{i}\right)=b^{-\#B}.$
Dans le cas particulier d'un mot m de longueur 1, i.e. si m est simplement un chiffre de A, les variables aléatoires
$X_{j}=1_{\varepsilon_{j}=m},$
sont des variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 1/b, et, en vertu de la loi forte des grands nombres, la fréquence d'apparition de m dans la suite des n premiers chiffres du développement de ω :
$F_{m}(n,\omega)\ =\ \frac{X_{1}(\omega)+...+X_{n} (\omega)}{n}$
vérifie :
$F_{m}(n)\ \underset{p.s}{\longrightarrow}\ E[X_{1}]\ =\ \frac{1}{b}.$
Ainsi presque tout élément ω de Ω=[0,1[ est simplement normal en base b. Le cas des mots de longueur 1 est plus simple que le cas général. Examinons le cas d'un mot m=(m₁,m₂) de longueur 2 dans A² , qui capture déjà toute la difficulté du cas général : la fréquence de m est encore définie par
$F_{m}(n)\ =\ \frac{X_{1}+...+X_{n}}{n},$
pour des variables aléatoires
$X_{j}=1_{(\varepsilon_{j},\varepsilon_{j+1})=m},$
qui sont encore des variables de Bernoulli, cette fois de paramètre 1/b². Cependant, ces nouvelles variables de Bernoulli ne sont pas indépendantes :
$\mathbb P\left(X_{j}=X_{j+1}=1\right)\ =\ b^{-3}1_{m_1=m_2}\ \neq\ b^{-4}\ =\ \mathbb P\left(X_{j}=1\right)\mathbb P\left(X_{j+1}=1\right).$
Il reste qu'en vertu du lemme de regroupement, les familles $\scriptstyle\ (X_{2n})_{n\ge 1}\$ et $\scriptstyle\ (X_{2n+1})_{n\ge 0}\$ sont deux familles de variables de Bernoulli indépendantes. Posons
$P_{n} (\omega)\ =\ \tfrac{X_{2} (\omega) +X_{4} (\omega) +\dots+X_{2n} (\omega)}{n},\quad I_n (\omega)\ =\ \tfrac{X_{1}(\omega)+X_{3}(\omega)+\dots+X_{2n-1}(\omega)}{n},$
et considérons les ensembles
$\begin{align} \Omega_{m}^{(b)}&=\left\{\omega\in[0,1[\ \left|\ \lim_n\ F_{m}(n,\omega)\ =\ b^{-2}\right.\right\},\\ \Omega_{0,m}&=\left\{\omega\in[0,1[\ \left|\ \lim_n\ P_{n}(\omega)\ =\ b^{-2}\right.\right\},\\ \Omega_{1,m}&=\left\{\omega\in[0,1[\ \left|\ \lim_n I_{n}(\omega)\ =\ b^{-2}\right.\right\}. \end{align}$
Ainsi, il découle de la loi forte des grands nombres que les deux ensembles $\scriptstyle\ \Omega_{0,m}\$ et $\scriptstyle\ \Omega_{1,m}\$ ont une mesure de Lebesgue égale à 1. Comme
$\left|F_{m}(2n+1)\ -\ \tfrac{2n}{2n+1}\ F_{m}(2n)\right|=\frac{|X_{2n+1}|}{2n+1}\ \le\ \frac{1}{2n+1},$
la convergence de $\scriptstyle\ F_{m}(2n)\$ vers une limite l implique successivement la convergence de $\scriptstyle\ F_{m}(2n+1)\$ puis la convergence de $\scriptstyle\ F_{m}(n)\$ vers cette même limite l. On voit par ailleurs que
$F_{m}(2n)\ =\ \tfrac{I_n+P_n}{2}.$
Tout cela combiné entraîne que si $\scriptstyle\ \omega\in\Omega_{0,m}\cap\Omega_{1,m},\$ alors $\scriptstyle\ \omega\in\Omega_{m}^{(b)},\$ , ou bien encore :
$\Omega_{0,m}\cap\Omega_{1,m}\subset \Omega_{m}^{(b)}.$
En vertu de l'inégalité de Boole, $\scriptstyle\ \mathbb{P}(\Omega_{0,m}\cap\Omega_{1,m})=1,\$ donc
$\mathbb{P}\left(\Omega_{m}^{(b)}\right)=1.$
Pour un mot m de longueur k strictement supérieure à 2, le raisonnement est très analogue, faisant intervenir des variables de Bernoulli :
$X_{j}=1_{(\varepsilon_{j},\dots,\varepsilon_{j+k-1})=m},$
de paramètre 1/b^k , non indépendantes, mais telles que les familles $\scriptstyle\ X^{(r)}=(X_{kn+r})_{n\ge 0}\$ sont des familles de variables de Bernoulli indépendantes, ceci pour $\scriptstyle\ 1\le r\le k.\$ On définit alors, pour $\scriptstyle\ 1\le r\le k,\$ des sous ensembles $\scriptstyle\ \Omega_{r,m},\$ de [0,1[, où les moyennes des termes de la famille $\scriptstyle\ X^{(r)}\$ convergent, qui sont, comme précédemment, de mesure 1 en vertu de la loi forte des grands nombres, et pour lesquels une inclusion
$\bigcap_{1\le r\le k}\Omega_{r,m}\subset \Omega_{m}^{(b)}$
est encore vérifiée. On conclut alors, à nouveau, que
$\mathbb{P}\left(\Omega_{m}^{(b)}\right)=1.$
Comme le langage^[2] $\scriptstyle\ A^{\star}\$ (i.e. l'ensemble des mots finis m écrits à l'aide de l'alphabet à b symboles A) est un ensemble dénombrable, et comme l'ensemble $\scriptstyle\ \mathcal{N}_b\$ des nombres réels normaux en base b appartenant à [0,1[ s'écrit :
$\mathcal{N}_b\ =\ \bigcap_{m\in A^{\star}}\Omega_{m}^{(b)},$
on en déduit^[3] que :
$\mathbb{P}\left(\omega\text{ est normal en base }b\right)\ =\ \mathbb{P}\left(\mathcal{N}_b\right)\ =\ 1,$
puis que :
$\mathbb{P}\left(\omega\text{ est normal}\right)\ =\ \mathbb{P}\left(\bigcap_{b\ge 2}\mathcal{N}_b\right)\ =\ 1$ Ainsi, presque sûrement (au sens de la mesure de Lebesgue), tout nombre est normal.

Propriétés et exemples

Le théorème des nombres normaux établit l'existence des nombres normaux, mais n'en construit explicitement aucun : on parle de démonstration non constructive. Wacław Sierpiński^[4] fut le premier à donner un exemple de nombre normal.

L'ensemble des nombres non-normaux n'est pas dénombrable. En effet, il y a une quantité non dénombrable de réels qui ne contiennent pas le chiffre 5 dans leur expansion décimale, et aucun de ceux-ci n'est normal.

Le nombre de Champernowne $0,123\, 456\, 789\, 101\, 112\, 131\, 415\, 161\, 7\dots$ , qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels est normal en base 10, mais il n'est pas démontré qu'il le soit dans les autres bases.

La constante de Copeland-Erdős $0,235\, 711\, 131\, 719\, 232\, 931\, 374 \,1\dots$ , obtenue en concatenant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.

Un nombre peut tout à fait être normal dans une base mais pas dans une autre, par exemple
$\alpha=\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{3^m2^{3^m}}}$
est normal en base 2^[5] mais pas en base 6^[6].

Aucun nombre rationnel n'est normal dans aucune base, puisque la suite de chiffres dans le développement des nombres rationnels est périodique à partir d'un certain rang. Wacław Sierpiński a fourni la première construction explicite d'un nombre normal en 1917. Un nombre normal calculable fut construit par Verónica Becher et Santiago Figueira ; un exemple de nombre normal non-calculable est donné par la constante de Chaitin $\Omega\,$ .

Il est extrêmement difficile de démontrer la normalité de nombres pourtant simples. Par exemple, on ne sait pas si $\sqrt 2$ , $\pi\,$ , ln(2) ou e sont normaux (mais tous sont conjecturés comme normaux, conformément aux expériences). Nous ne savons même pas démontrer qu'un chiffre donné apparait infiniment souvent dans le développement décimal de ces constantes. David Bailey et Richard Crandall ont conjecturé en 2001 que tout nombre algébrique irrationnel est normal ; bien qu'aucun contre-exemple ne soit connu, on ne connait pas non plus de nombre algébrique qui soit normal dans une base.

Tout nombre aléatoire est bien entendu normal. Par ailleurs, tout nombre normal est aussi un nombre univers, bien que la réciproque soit fausse.

Note et références

Note

↑ Jean-Paul Delahaye, "Le fascinant nombre Pi", Belin, Pour la science (ISBN 9782842418250)

↑ ^{a et b} Voir (en) M. Lothaire, Combinatorics on Words, Addison–Wesley, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications », 1983 (réimpr. 1997), 260 p. , pour le vocabulaire et les notations de la théorie des langages. À ce propos, les mêmes raisonnements conduisent Émile Borel, en 1913, à soulever le paradoxe du singe savant, qui a connu une certaine fortune dans l'imagination populaire : l'anecdote mise à part, il s'agit d'étudier le nombre d'occurrences d'un mot très long dans une séquence infinie de caractères aléatoires indépendants, tirés d'un alphabet A fini. Voir Émile Borel, « Mécanique Statistique et Irréversibilité », dans J. Phys. 5e série, vol. 3, 1913, p. 189–196 .

↑ Car l'intersection dénombrable d'évenements de probabilités 1 est encore un événement de probabilité 1, voir la page "Inégalité de Boole".

↑ W.Sierpinski, Démonstration élémentaire du théorème de M.Borel sur les nombres absolument normaux et détermination effective d'un tel nombre, Bulletin de la Société Mathématique de France Tome 45, p.125-132, 1917.

↑ http://www.ams.org/journals/proc/2006-134-09/S0002-9939-06-08551-0/S0002-9939-06-08551-0.pdf%7C Démonstration de la normalité de $α$ en base 2

↑ A non-normality result, D.H Bailey, September 12 2007

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Normal number » (voir la liste des auteurs)

(en) David H. Bailey (en) et Richard Crandall (en), « On the Random Character of Fundamental Constant Expansions », Experimental Mathematics 10 (2001), 175-190

(en) V. Becher et S. Figueira, An example of a computable absolutely normal number », Theoretical Computer Science 270 (2002), 947-958

É. Borel, « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), 247-271

(en) D. G. Champernowne, « The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten », Journal of the London Mathematical Society 8 (1933), 254-260

W. Sierpiński, « Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolument normaux et détermination effective d'un tel nombre », Bull. SMF 45 (1917), 125-144

Voir aussi

v · d · m

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