Nombre negatif

Nombre négatif

Un nombre négatif est un nombre qui est inférieur (inférieur ou égal) à zéro, tel que −3 ou −π. Ceux-ci comprennent les entiers négatifs, les nombres rationnels négatifs, les nombres irrationnels négatifs, les nombres réels négatifs. Zéro compte comme un nombre négatif. Lorsqu'un nombre est négatif et non nul, il est dit strictement négatif (cette terminologie diffère donc de la terminologie anglo-saxonne, pour laquelle un "positive number" est un nombre strictement positif, zéro n'étant considéré ni comme un nombre positif, ni comme un nombre négatif).

Les entiers négatifs peuvent être regardés comme une extension des entiers naturels, telle que l'équation x − y = z ait une solution significative pour toutes les valeurs de x et y ; l'ensemble des entiers positifs et négatifs s'appelle l'ensemble des entiers relatifs. Les autres ensembles de nombres peuvent être alors construits, comme des extensions progressivement plus élaborées ou comme des généralisations à partir des entiers.

Les nombres négatifs sont utiles pour décrire des valeurs sur une échelle qui descend au-dessous de zéro, telle que la température, et aussi en comptabilité où ils peuvent être utilisés pour représenter des dettes ou des déficits. En comptabilité, les dettes sont souvent représentées par des nombres écrits en rouge, ou par un nombre entre parenthèses.

Lorsque nous parlons de nombres positifs ou négatifs, les adjectifs positif et négatif doivent être pris au sens large, c'est-à-dire que zéro n'est pas exclu et zéro est donc un nombre (le seul) à la fois positif et négatif. Si nous considérons des nombres positifs ou négatifs mais non nuls, alors nous devons préciser strictement positifs ou strictement négatifs.

L'ensemble des entiers relatifs négatifs est habituellement noté $\mathbb{Z}_-$ ,
l'ensemble des entiers relatifs strictement négatifs est habituellement noté $\mathbb{Z}_-^*$ ,
l'ensemble des nombres rationnels négatifs est habituellement noté $\mathbb{Q}_-$ ,
l'ensemble des nombres rationnels strictement négatifs est habituellement noté $\mathbb{Q}_-^*$ ,
l'ensemble des nombres réels négatifs est habituellement noté $\mathbb{R}_-$ ,
l'ensemble des nombres réels strictement négatifs est habituellement noté $\mathbb{R}_-^*$ ,

Arithmétique impliquant les nombres négatifs

Addition et soustraction

Ajouter un nombre négatif revient à soustraire le nombre positif correspondant :

5 + (−3) = 5 − 3 = 2

−2 + (−5) = −2 − 5 = −7

Soustraire un nombre positif d'un plus petit nombre positif donne un résultat négatif :

4 − 6 = −2 (si vous avez en poche 4 € et que vous dépensez 6 €, alors vous avez une dette de 2 €).

Soustraire un nombre positif d'un nombre négatif donne un résultat négatif :

−3 − 6 = −9 (si vous avez une dette de 3 € et que vous dépensez encore 6 €, alors vous avez une dette de 9 €).

Soustraire un nombre négatif équivaut à ajouter le nombre positif correspondant:

5 − (−2) = 5 + 2 = 7 (si vous disposez d'une valeur nette de 5 € et que vous vous débarrassez d'une dette de 2 €, alors il vous reste une valeur 7 € en poche).

Aussi:

(−8) − (−3) = −5 (si vous avez une dette de 8 € et que vous vous débarrassez d'une dette de 3 €, alors vous aurez encore une dette de 5 €).

Multiplication

Le produit d'un nombre négatif par un nombre positif donne un résultat négatif: (−2) · 3 = −6. La raison de cela est que ce produit peut être interprété comme une addition répétée: (−2) · 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6. Nous pouvons l'interpréter autrement, si vous avez une dette de 2 €, et si votre dette est triplée, alors vous terminez avec une dette de 6 €.

La multiplication de deux nombres négatifs donne un résultat positif: (−3) · (−4) = 12. Cette situation ne peut pas être interprétée comme une addition répétée, et l'analogie avec une dette n'aide pas non plus. La raison essentielle de cette règle est que nous voulons que la multiplication soit distributive :

(3 + (−3)) · (−4) = 3 · (−4) + (−3) · (−4).

Le membre de gauche de cette relation est égal à 0 · (−4) = 0. Le côté droit est une somme de −12 + (−3) · (−4); pour que les deux membres soient égaux, nous avons besoin que (−3) · (−4) = 12.

Notion de nombre
Ensembles usuels	$\mathbb{N}$ Entier naturel • $\mathbb{Z}$ Entier relatif • $\mathbb{D}$ Nombre décimal • $\mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $\mathbb{R}$ Nombre réel • $\mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$\mathbb{H}$ Quaternion • $\mathbb{O}$ Octonion • $\mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • Nombre bicomplexe • Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $\mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique • Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal • Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique • Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal • Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro • Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

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