Nombre Remarquable

En mathématiques certains nombres se distinguent des autres, jouent un rôle clef, ou apparaissent curieusement dans beaucoup de formules. Ces nombres, considérés comme importants, sont appelés nombres remarquables et portent un nom, qui est parfois celui d'un mathématicien, d'une figure géométrique, ... Certains les appellent des constantes mathématiques, bien que constante ne corresponde pas en mathématiques à une quantité ou un nombre, mais à une fonction constante. Il faut donc interpréter une constante mathématique comme un nombre particulier.

Beaucoup de nombres en mathématiques ont une signification particulière et apparaissent dans différents contextes. Par exemple, dans le théorème suivant: il existe une unique fonction holomorphe exp(z) telle que

Le nombre exp(1) est alors e le nombre exponentiel de un. De plus exp(z) est une fonction périodique, de période 2πi, un autre nombre remarquable.

Les nombres remarquables sont typiquement des éléments du corps des nombres réels ou des complexes. En tous cas, ces nombres particuliers sont toujours définissables, et ceux existant actuellement ont une (ou plusieurs) définition rigoureuse. D'autre part, ils sont presque toujours calculables. Mais il existe des nombres remarquables pour lesquels seules des valeurs approchées grossières sont connues. Certains nombres réels remarquables, peuvent être classés en fonction de leur représentation sous forme de fraction continue.

Nous allons donner une liste de tous les nombres considérés habituellement comme remarquables, en commençant par les plus importants ceux que certains qualifient de constantes importantes et qui sont certainement les plus remarquables parce qu'ils sont souvent rencontrés dans divers domaines des mathématiques.

Remarquez que l'élévation d'un nombre au rang de nombre remarquable est assez arbitraire. Pourquoi ne pas considérer ln3 pour lequel il est certainement possible de trouver des propriétés mathématiques intéressantes ? Ou bien tout simplement n'importe quel nombre premier ?

Nous sommes contraints de faire un choix parmi tous les nombres existants.

Sommaire 1 Entiers remarquables 2 Nombres rationnels remarquables 3 Nombres algébriques remarquables 3.1 Nombres algébriques non constructibles 4 Nombres transcendants 4.1 Nombres transcendants non calculables 5 Nombres normaux 6 Nombres complexes remarquables 7 Nombres réels au statut indéterminé 8 Voir aussi 8.1 Articles connexes 8.2 Liens externes

Entiers remarquables

Voir Catégorie:Inventaire de nombres pour la liste complète des articles consacrés à un entier donné. Le concept d'entiers remarquables est difficile à définir du fait du paradoxe des entiers remarquables.

• 0  : élément neutre du groupe additif Z, remarquable pour son histoire;
• 1 : élément neutre du groupe multiplicatif Z, première quantité identifiée;
• 2 : le seul nombre premier pair;
• Les nombres premiers.
• En septembre 2006, le plus grand nombre premier connu était un nombre premier de Mersenne, 2^32 582 657-1.
• Le plus grand couple de nombres premiers jumeaux est :

• Les nombres parfaits, qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs entiers naturels. On en connait 44, dont huit inférieurs à 10²¹.
  • 6
  • 28
  • 496
  • 8 128
  • 33 550 336
  • 8 589 869 056
  • 137 438 691 328
  • 2 305 843 008 139 952 128
• le gogol = 10¹⁰⁰ est supérieur au nombre d'atomes dans l'Univers.
• Le nombre de Shannon, 10¹²⁰, est une estimation de la complexité du jeu d'échecs.
• Nombre de Graham, qui est connu pour être le plus grand entier jamais utilisé dans une démonstration. Ses dix derniers chiffres sont ...2464195387.

Nombres rationnels remarquables

• Les nombres décimaux possèdent un développement décimal limité.

Nombres algébriques remarquables

• La racine carrée de deux, est un nombre irrationnel, solution de l'équation x² = 2. C'est peut-être le premier irrationnel à avoir été mis en évidence par les Grecs; il est égal à la longueur de la diagonale d'un carré de côté un; il intervient dans les formules donnant les volumes du tétraèdre et de l'octaèdre;
• i appelé nombre i, solution de l'équation x² + 1 = 0; à la base de la droite des imaginaires et de la définition des nombres complexes;
• Nombre d'or : φ.
• fait partie des nombres irrationnels qui possèdent un développement en fraction continue périodique pur.

Nombres algébriques non constructibles

• L'heptagone est non constructible à la règle et au compas parce que x = cos(π / 7) n'est pas un nombre constructible. Le réel x est cependant algébrique, puisqu'il est racine de 8x³ − 4x² − 4x + 1 = 0.

Nombres transcendants

• π
• e
• On sait qu'au moins l'un des nombres et doit être transcendant.
• La Constante de Prouhet-Thue-Morse .

Nombres transcendants non calculables

• La constante Oméga de Chaitin Ω est bien définie mais n'est pas calculable.

Nombres normaux

• Le nombre de Champernowne

0,1234567891011121314151617...

qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels est normal en base 10, mais il ne l'est pas dans certaines autres bases.

• La constante de Copeland-Erdős

0,2357111317192329313741...

obtenue en concatenant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.

On ne sait pas si √2, π, ln(2) ou e sont normaux.

Nombres complexes remarquables

• Selon l'Hypothèse de Riemann, les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques actuelles.

Nombres réels au statut indéterminé

• γ : Constante d'Euler-Mascheroni.
• Constante de Khintchine K.
• Constante de Catalan
• Nombres de Feigenbaum : probablement transcendants

Voir aussi

Articles connexes

• Table de constantes mathématiques

Liens externes

• Liste de nombres remarquables (fr)
• Des constantes mathématiques (fr)
• Constante dans Wolfram (en)

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